在數學及其應用中,以雅克·夏爾·弗朗索瓦·施圖姆(1803–1855)和約瑟夫·劉維爾(1809–1882)的名字命名的施圖姆-劉維爾方程是指二階線性實微分方程:
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\!\!\left[\,p(x){\frac {dy}{dx}}\right]+q(x)y=-\lambda \,w(x)y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7ed22ff2571ca9f5bc6f1236c5f57aea09ec786) | | 1 |
其中給定係數函數p(x), q(x), 和w(x)均為已知函數,和y是以x為自由變量的未知的待求解函數,稱為解;
是一個未定常數。w(x)又記為r(x),稱為'權(weight)'函數或'密度(density)'函數。所有二階線性常微分方程都可以簡化為這種形式。
在一個正則的施圖姆-劉維爾(S-L)本徵值問題中,在有界閉區間[a,b]上,三個係數函數
應滿足以下性質:
;
均連續;
滿足邊界條件
及
(
)。
只有一些恰當的
能夠使得方程擁有滿足上述條件的非平凡解(非零解)。這些
稱為方程的特徵值,對應的非平凡解稱為特徵函數,而特徵函數的集合則稱為特徵函數族。施、劉二人在一些由邊界條件確定的函數空間中,引入埃爾米特算子,形成了施圖姆-劉維爾理論。這個理論提出了特徵值的存在性和漸近性,以及特徵函數族的正交完備性。這個理論在應用數學中十分重要,尤其是在使用分離變量法求解偏微分方程的時候。
施圖姆-劉維爾理論提出:
- 施圖姆-劉維爾特徵值問題,存在無限多個實數特徵值,而且可以排序為:
;
- 對於每一個特徵值
都有唯一的(已被歸一化的)特徵函數
,且
在開區間(a,b)上有且僅有n-1個零點。其中
稱為滿足上述施圖姆-劉維爾特徵值問題的第n個基本解;
- 已歸一化的特徵函數族在希爾伯特空間
上有正交性和完備性,形成一組正交基:
![{\displaystyle \int _{a}^{b}y_{n}(x)y_{m}(x)w(x)\,\mathrm {d} x=\delta _{mn}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef208ebb27aa2433930592e93020500d50a56c26)
- 其中
是克羅內克函數。
只要乘以一個恰當的積分因子,所有二階常微分方程都可以寫成施圖姆-劉維爾形式。
![{\displaystyle x^{2}y''+xy'+(x^{2}-\nu ^{2})y=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/020890b93ad8fd08f75d092eb374e561ba6cc6cd)
- 等價於:
![{\displaystyle (xy')'+(x-\nu ^{2}/x)y=0.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/938761b4ae89ca3902f2fda8dbcbe087cf64dcf3)
![{\displaystyle (1-x^{2})y''-2xy'+\nu (\nu +1)y=0\;\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e903d09000ae84a403dff8866db81298b82a7bbe)
- 注意到 D(1 − x2) = −2x,因此等價於:
![{\displaystyle [(1-x^{2})y']'+\nu (\nu +1)y=0\;\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/015a50c6b6390ffe82f5b410b427d8e2e42c89e8)
二體問題常用的換元的技巧是通過
和
將原方程中對時間的求導轉化為對角度
的求導,並得到Sturm-Liouville型方程[1]
![{\displaystyle (Lu')'+Lu=1/L\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e02d983bb7392e10b72dd4a7058a8ba56daf3b3e)
![{\displaystyle x^{3}y''-xy'+2y=0.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/538a7fd72fcc777f92b5ca8ded8512574dddf029)
- 兩邊同時除以x3:
![{\displaystyle y''-{x \over x^{3}}y'+{2 \over x^{3}}y=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9ebb7ccb2dd6318e0bed7ca842ed4277aa61332)
- 再乘以積分因子:
![{\displaystyle \mu (x)=e^{\int -{x/x^{3}}\,\mathrm {d} x}=e^{\int -{1/x^{2}}\,\mathrm {d} x}=e^{1/x},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3d758b3751a68fd3eee87451f8782f2c454081d)
- 得到:
![{\displaystyle e^{1/x}y''-{e^{1/x} \over x^{2}}y'+{2e^{1/x} \over x^{3}}y=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6ddf3cd4d0b7b13b952d7dd39aaa84f15aed5ca)
- 又注意到:
![{\displaystyle De^{1/x}=-{e^{1/x} \over x^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3b20a9d64ab12a1c0dc377f0e641bb679515b58)
- 因此原方程等價於:
![{\displaystyle (e^{1/x}y')'+{2e^{1/x} \over x^{3}}y=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ae088b0e18450db076cc346c811cfefb3058c57)
![{\displaystyle P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef8b873d0c2fbadc00867b78283836d28c724942)
- 兩邊同時乘以積分因子:
![{\displaystyle \mu (x)={1 \over P(x)}e^{\int {Q(x)/P(x)}\,\mathrm {d} x},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ecb1736e74632cebc705f706d920938133e3be7)
- 整理後得到:
![{\displaystyle {d \over dx}(\mu (x)P(x)y')+\mu (x)R(x)y=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f32c229fa5d651bc5744f0a49f4dbe297d03a315)
- 或者把積分因子寫出來:
![{\displaystyle {d \over dx}(e^{\int {Q(x)/P(x)}\,\mathrm {d} x}y')+{R(x) \over P(x)}e^{\int {Q(x)/P(x)}\,\mathrm {d} x}y=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e022fc61a9cc5e2f10c8aeb759c0c89f35279b0)