線性組合
![本頁使用了標題或全文手工轉換](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cd/Zh_conversion_icon_m.svg/35px-Zh_conversion_icon_m.svg.png)
此條目沒有列出任何參考或來源。 (2012年1月19日) |
線性組合(英語:Linear combination)是線性代數中具有如下形式的表達式。其中為任意類型的項,為純量。這些純量稱為線性組合的系數或權。
定義
[編輯]如果存在有限多個向量屬於,和對應的純量屬於,使得,則稱是的線性組合。
規定:向量是空集合的線性組合。
線性生成
[編輯]所有 S 的有限線性組合構成的集合,稱為 S 所生成的空間,記作 span(S)。
任何 S 所生成的空間必有以下的性質:
1. 是一個 V 的子空間(所以包含0向量)
2. 幾何上是直的,沒有彎曲(即,任兩個 span(S) 上的點連線延伸,所經過的點必也在 span(S) 上)
線性無關
[編輯]對於一個向量集 S ={v1,...,vn}, 若向量空間中的單個向量可以寫作兩個不同的線性組合,
另一種表述方式是,如果將它們相減 () ,得到一個純量不全等於零的線性組合,而它的值為零:
那麼v1,...,vn 稱為「線性相關」;否則它們為線性無關。
若S是線性無關,而S的生成空間等於V,那麼S是V的基。
仿射組合,錐組合及凸組合
[編輯]組合的種類 | 系數的限制 | 集合名 | 樣板空間 |
---|---|---|---|
線性組合 | 無限制 | 向量子空間 | |
仿射組合 | 仿射子空間 | 仿射超平面 | |
錐組合 | 凸錐 | 象限或八分圓 | |
凸組合 | and | 凸集 | 單體 |
因為這些組合的限制更加嚴格,所以在這些運算之下的閉合子集也更多。因此,仿射子集,凸錐,和凸集都是向量子空間的一般化形式。所有向量子空間都是仿射子空間,凸錐,也是凸集,但凸集不一定是向量子空間,仿射子空間,或凸錐。
這些概念的產生是由於對於一些特定的數學物件,人們可以採用某些線性組合,但並非任何線性組合:例如,概率分佈在凸組合下是閉合的,並且它們形成一個凸集;但在錐組合,仿射組合,或線性組合下不是閉合的。正測度在錐組合下是閉合的,但在仿射或線性組合下不是。因此,我們將帶正負符號的測度定義為它的線性閉包。
線性和仿射組合可以在任何域或環上定義,但錐組合和凸組合需要「正數」的概念,因此只能在有序體或有序環上定義,最常見的例子是實數。
如果僅允許乘以純量而不允許相加,則我們得到一個(不一定是凸的)圓錐;通常來說,定義中只允許乘以正純量。
所有這些概念通常都定義為環境向量空間的子集,而不是獨立地由公理定義。仿射空間除外,因為仿射空間也可以看作「沒有原點的向量空間」。
另見
[編輯]
|