判別式

判別式是代數學中的概念，它可以推斷出一個實系數或復系數多項式的根的屬性。

當多項式的系數不是實數或複數域時，同樣有判別式的概念。判別式總是系數域中的元素。這時，判別式為零當且僅當多項式在它的分裂體中有重根。判別式的通常形式為：

a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}{(r_{i}-r_{j})^{2}}

其中的 $a_{n}$ 是多項式的最高次項系數， $r_{1},...,r_{n}$ 是多項式在某個分裂體中的根（如有重根的按重數重複排列）。

判別式的概念也被推廣到了多項式以外的其它代數結構，比如說圓錐曲線、二次型和代數數體中。在代數數論中，判別式與所謂的「分歧」的概念緊密相關。實際上，愈為幾何的分歧類型對應着愈為抽象的判別式類型，因此在許多方面判別式都是一個中心概念。判別式在本質上表現為相應行列式的計算。

定義

最簡單的判別式情形出現在二次多項式方程的求解中。假設有二次多項式方程 $ax^{2}+bx+c\,$ ，其中系數 $a,b,c$ 為實數，則它的判別式定義為：

\Delta =b^{2}-4ac\,

判別式也是一個實數。如果設方程的兩個根為 $r_{1}$ 和 $r_{2}$ ，那麼根據二次方程的求根公式，兩個根可以表示為：

r_{1}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}},\quad \;\;r_{2}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}.

方程的根與判別式的關係為：

\Delta =a^{2}(r_{1}-r_{2})^{2}.

兩個根都是實數，當且僅當判別式大於等於零。當且僅當兩根相等時，判別式等於零。如果判別式小於零，則兩根是共軛的複數。

\Delta =b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd\,

\Delta =-4p^{3}-27q^{2}\,

{\begin{aligned}\Delta =&b^{2}c^{2}d^{2}-4b^{3}d^{3}-4ac^{3}d^{2}+18abcd^{3}\\&-27a^{2}d^{4}+256a^{3}e^{3}-4b^{2}c^{3}e+18b^{3}cde\\&+16ac^{4}e-80abc^{2}de-6ab^{2}d^{2}e+144a^{2}cd^{2}e\\&-27b^{4}e^{2}+144ab^{2}ce^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}-192a^{2}bde^{2}\,\end{aligned}}

二次多項式 $P(x)=ax^{2}+bx+c\,$ 的判別式是 $D=b^{2}-4ac\,$ 。在一元二次方程的求解中，判別式用來判斷方程根的情況，並出現在根的表達式中。

如果 $D>0\,$ ，那麼 $P(x)\,$ 有兩個相異實根 $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ ，即 $P(x)\,$ 的圖像穿過 $x\,$ 軸兩次。
如果 $D=0\,$ ，那麼 $P(x)\,$ 有兩個相等實根 $x_{1}=x_{2}=-{\frac {b}{2a}}\,$ ， $P(x)\,$ 的圖像與 $x\,$ 軸相切。
如果 $D<0\,$ ，那麼 $P(x)\,$ 沒有實根，即 $P(x)\,$ 的圖像與 $x\,$ 軸沒有交點。

對於一般的一個多項式

p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots +a_{1}x+a_{0}

，

其判別式等於（差一個系數）以下的 $(2n-1)\times (2n-1)\,$ 的矩陣的行列式（見西爾維斯特矩陣）：

\left[{\begin{matrix}&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots &a_{1}&a_{0}&0\ldots &\ldots &0\\&0&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots &a_{1}&a_{0}&0\ldots &0\\&\vdots \ &&&&&&&&\vdots \\&0&\ldots \ &0&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots &a_{1}&a_{0}\\&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&(n-2)a_{n-2}&\ldots \ &a_{1}&0&\ldots &\ldots &0\\&0&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&(n-2)a_{n-2}&\ldots \ &a_{1}&0&\ldots &0\\&\vdots \ &&&&&&&&\vdots \\&0&0&\ldots &0&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&(n-2)a_{n-2}&\ldots \ &a_{1}\\\end{matrix}}\right].

這個矩陣的行列式稱為 $p(x)\,$ 和 $p'(x)\,$ 的結式，記為 $R(p,p')\,$ 。 $p(x)\,$ 的判別式 $D(p)\,$ 由以下公式給出：

D(p)=(-1)^{{\frac {1}{2}}n(n-1)}{\frac {1}{a_{n}}}R(p,p')\,

.

例如，在 $n=4\,$ 的情況下，以上的行列式是：

{\begin{vmatrix}&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}&0&0\\&0&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}&0\\&0&0&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}&0&0&0\\&0&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}&0&0\\&0&0&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}&0\\&0&0&0&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}\\\end{vmatrix}}

這個四次多項式的判別式就是這個行列式除以 $a_{4}\,$ 。

作為等價條件，多項式的判別式等於：

a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}{(r_{i}-r_{j})^{2}}

其中 $r_{1},\cdots ,r_{n}\,$ 是多項式 $p(x)\,$ 的複根（重根按重數計算）：

{\begin{matrix}p(x)&=&a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}\\&=&a_{n}(x-r_{1})(x-r_{2})\ldots (x-r_{n})\end{matrix}}

在這個表達式中可以清楚地看到 $p\,$ 有重根當且僅當判別式為零。

多項式的判別式可以在任意的域中定義，定義方式一樣。帶有根 $r_{i}\,$ 的表達式仍然有效，只是根要在系數域的某個分裂體中取。

對於以下多項式所定義的圓錐曲線：

ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0

它的判別式為：

b^{2}-4ac

它決定了圓錐曲線的形狀。如果判別式小於0，則是橢圓或圓。如果判別式等於0，則是一條拋物線。如果大於0，則是雙曲線。這個公式不適用於退化的情形（當這個多項式可以因式分解時）。

判別式的概念可以推廣到任意特徵不為2的域K上的二次型Q上。一個化簡後的二次型可以表示為一系列的平方和：

Q=\sum _{i=1}^{k}a_{i}L_{i}^{2}

其中L_i是n個變量的線性組合。這時可以定義Q的判別式為所有a_i的乘積。另外一個定義是Q所對應的矩陣的行列式。

閱論編多項式
函數	零次函數(常數函數) 一次函數二次函數三次函數四次函數五次函數
方程	一次方程二次方程三次方程四次方程五次方程六次方程七次方程八次方程
算法	多項式除法因式不可約多項式最大公因式（英語：Polynomial greatest common divisor）秦九韶算法結式判別式