
转置矩阵
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在线性代数中,矩阵A的转置是另一个矩阵AT(也写做Atr, tA或A′)由下列等价动作建立:
- 把A的横行写为AT的纵列
- 把A的纵列写为AT的横行
形式上说,m × n矩阵A的转置是n × m矩阵
- for 。
注意:(转置矩阵)与(逆矩阵)不同。
例子[编辑]
性质[编辑]
对于矩阵A, B和标量c转置有下列性质:
-
- 转置是自身逆运算。
-
- 标量的转置是同样的标量。
-
- 矩阵的转置矩阵的行列式等于这个矩阵的行列式。
- 两个纵列向量a和b的点积可计算为
- 如果A只有实数元素,则ATA是正半定矩阵。
- 如果A是在某个域上,则A 相似于AT。
特殊转置矩阵[编辑]
其转置等于自身的方块矩阵叫做对称矩阵;就是说A是对称的,如果
- 。
其转置也是它的逆矩阵的方块矩阵叫做正交矩阵;就是说G是正交的,如果
- I是单位矩阵。
其转置等于它的负矩阵的方块矩阵叫做斜对称矩阵;就是A是斜对称的,如果
- 。
复数矩阵A的共轭转置,写为AH,是A的转置后再取每个元素的共轭复数:
线性映射的转置[编辑]
如果f: V→W是在向量空间V和W之间非退化双线性形式的线性映射,我们定义f的转置为线性映射tf : W→V,确定自
这里的,BV和BW分别是在V和W上的双线性形式。一个映射的转置的矩阵是转置矩阵,只要基是关于它们的双线性形式是正交的。
在复向量空间上,经常用到半双线性形式来替代双线性形式。在这种空间之间的映射的转置可类似的定义,转置映射的矩阵由共轭转置矩阵给出,如果基是正交的。在这种情况下,转置也叫做埃尔米特伴随。
如果V和W没有双线性形式,则线性映射f: V→W的转置只能定义为在对偶空间W和V之间的线性映射 tf : W*→V*。
外部链接[编辑]
- MIT Video Lecture on Matrix Transposes at Google Video, from MIT OpenCourseWare
- Transpose, mathworld.wolfram.com
- Transpose, planetmath.org