轉置矩陣

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線性代數
向量 · 矩陣  · 行列式  · 線性空間

線性代數中,矩陣A轉置是另一個矩陣AT(也寫做Atr, tAA′)由下列等價動作建立:

  • A的橫行寫為AT的縱列
  • A的縱列寫為AT的橫行

形式上說,m × n矩陣A的轉置是n × m矩陣

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注意:(轉置矩陣)與逆矩陣)不同。

例子[編輯]

性質[編輯]

對於矩陣A, B和純量c轉置有下列性質:

轉置是自身逆運算
轉置是從m × n矩陣的向量空間到所有n × m矩陣的向量空間的線性映射
注意因子反轉的次序。以此可推出方塊矩陣A可逆矩陣,若且唯若AT是可逆矩陣,在這種情況下有 (A−1)T = (AT)−1。相對容易的把這個結果擴展到矩陣相乘的一般情況,可得出 (ABC...XYZ)T = ZTYTXT...CTBTAT
純量的轉置是同樣的純量。
矩陣的轉置矩陣的行列式等於這個矩陣的行列式。
  • 兩個縱列向量ab點積可計算為

特殊轉置矩陣[編輯]

其轉置等於自身的方塊矩陣叫做對稱矩陣;就是說A是對稱的,如果

其轉置也是它的逆矩陣的方塊矩陣叫做正交矩陣;就是說G是正交的,如果

I單位矩陣

其轉置等於它的負矩陣的方塊矩陣叫做斜對稱矩陣;就是A是斜對稱的,如果

複數矩陣A共軛轉置,寫為AH,是A的轉置後再取每個元素的共軛複數:

線性映射的轉置[編輯]

如果f: VW是在向量空間V和W之間非退化雙線性形式線性映射,我們定義f的轉置為線性映射tf : WV,確定自

這裡的,BVBW分別是在VW上的雙線性形式。一個映射的轉置的矩陣是轉置矩陣,只要是關於它們的雙線性形式是正交的。

在復向量空間上,經常用到半雙線性形式來替代雙線性形式。在這種空間之間的映射的轉置可類似的定義,轉置映射的矩陣由共軛轉置矩陣給出,如果基是正交的。在這種情況下,轉置也叫做埃爾米特伴隨

如果VW沒有雙線性形式,則線性映射f: VW的轉置只能定義為在對偶空間WV之間的線性映射 tf : W*V*

外部連結[編輯]