跳至內容

烏雷松引理

維基百科,自由的百科全書

拓撲學中,烏雷松引理,有時稱為「拓撲學中的第一非平凡事實」,通常用於構造正規空間上不同性質的連續函數。這個定理有廣泛的應用,因為所有的度量空間豪斯多夫空間都是正規的。

這個引理是以帕維爾·薩穆伊洛維奇·烏雷松命名的。

正式表述

[編輯]

烏雷松引理說明, 是一個正規拓撲空間,若且唯若只要 不交閉子集,就存在一個從 單位區間 的連續函數:

使得對於所有 ,都有 ,而對於所有 ,都有

任何滿足這個性質的函數f都稱為烏雷松函數

注意 以外的元素 並不需要使得 。這只在完備正規空間中才有可能。

烏雷松引理導致了其它拓撲空間,例如「吉洪諾夫性質」和「完全豪斯多夫空間」的表述。例如,這個引理的一個推論是:正規的T1空間吉洪諾夫空間

證明

[編輯]
烏雷松的洋蔥函數。

對於每一個二進分數 ,我們構造 的一個開子集 ,使得:

  1. ,且對於所有的
  2. 對於 閉包位於 內。

有了這些集合以後,我們便定義 對於所有 。利用二進有理數是稠密的事實,便不難證明 是連續的,且具有性質

為了構造集合 ,我們還需要做更多事情:我們構造集合 ,使得:

  • 對於所有的 ,都有
  • 對於所有的 都是開集和不交的;
  • 對於 包含在 的補集之內,而 的補集包含在 之內。

由於 的補集是閉集,且含有 ,因此從最後一個條件可以推出上面的條件 (2)。

我們使用數學歸納法。由於 是正規的,我們便可以找出兩個不交的開集 ,分別含有 。現在假設 ,且集合 對於 已經構造了。由於 是正規的,我們便可以找出兩個不交的開集,分別含有 的補集和 的補集。稱這兩個開集為 ,並驗證以上的三個條件成立。

參考文獻

[編輯]