電感

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電感inductance)是閉合迴路的一種屬性,即當通過閉合迴路的電流改變時,會出現電動勢來抵抗電流的改變。這種電感稱為自感self-inductance),是閉合迴路自己本身的屬性。假設一個閉合迴路的電流改變,由於感應作用而產生電動勢於另外一個閉合迴路,這種電感稱為互感mutual inductance)。電感以方程式表達為

\mathcal{E} = - L { \mathrm{d}i \over \mathrm{d}t}

其中,\mathcal{E} 是電動勢,L 是電感,i 是電流,t 是時間。

術語「電感」是1886年由奧利弗·赫維賽德命名[1]。通常自感是以字母「L」標記,這可能是為了紀念物理學家海因里希·冷次的貢獻[2][3]。互感是以字母「M」標記,是其英文術語的第一個字母。採用國際單位制,電感的單位是亨利henry),標記為「H」,是因美國科學家約瑟·亨利命名。 1 H = 1 Wb/A

電感器是專門用在電路裏實現電感的電路元件螺線管是一種簡單的電感器,指的是多重捲繞的導線(稱為「線圈」),內部可以是空心的,或者有一個金屬芯。螺線管的電感是自感。變壓器是兩個耦合的線圈形成的電感器,由於具有互感屬性,是一種基本磁路元件。

概述[編輯]

應用馬克士威方程組,可以計算出電感。很多重要案例,經過簡化程序後,可以被解析。當涉及高頻率電流和伴隨的集膚效應,經過解析拉普拉斯方程式,可以得到面電流密度磁場。假設導體是纖細導線,自感仍舊跟導線半徑、內部電流分佈有關。假若導線半徑超小於其它長度尺寸,則這電流分佈可以近似為常數(在導線的表面或體積內部)。

自感[編輯]

流動於閉合迴路的含時電流所產生的含時磁通量,會促使閉合迴路本身出現感應電動勢。

如右圖所示,流動於閉合迴路的含時電流 i(t) 所產生的含時磁通量 \Phi(i) ,根據法拉第電磁感應定律,會促使閉合迴路本身出現感應電動勢 \mathcal{E}

 \mathcal{E} = - N{{\mathrm{d}\Phi} \over \mathrm{d}t}  = - N{{\mathrm{d}\Phi} \over \mathrm{d}i} \  { \mathrm{d}i \over \mathrm{d}t}

其中,N 是閉合迴路的捲繞匝數。

設定電感 L

L= N \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}i}

則感應電動勢與含時電流之間的關係為

 \mathcal{E} = - L { \mathrm{d}i \over \mathrm{d}t}

由此可知,一個典型的電感元件中,在其幾何與物理特性都固定的狀況下,產生的電壓 v 為:

v=  L {{\mathrm{d}i} \over \mathrm{d}t}

電感的作用是抵抗電流的變化,但是這種作用與電阻阻礙電流的流動是有區別的。電阻阻礙電流的流動的特徵是消耗電能,而電感則純粹是抵抗電流的變化。當電流增加時電感抵抗電流的增加;當電流減小時電感抵抗電流的減小。電感抵抗電流變化的過程並不消耗電能,當電流增加時它會將能量磁場的形式暫時儲存起來,等到電流減小時它又會將磁場的能量釋放出來,其效應就是抵抗電流的變化。

互感[編輯]

圖上方,閉合迴路1的含時電流 i_1(t) 所產生的含時磁通量,會促使閉合迴路2出現感應電動勢 \mathcal{E}_2 。圖下方,閉合迴路2的含時電流 i_2(t) 所產生的含時磁通量,會促使閉合迴路1出現感應電動勢 \mathcal{E}_1

如右圖所示,流動於閉合迴路1的含時電流 i_1(t) ,會產生磁通量 \Phi_{2}(t) 穿過閉合迴路2,促使閉合迴路2出現感應電動勢 \mathcal{E}_2 。穿過閉合迴路2的磁通量和流動於閉合迴路1的含時電流,有線性關係,稱為互感 M_{21} ,以方程式表達為。

\Phi_{2} = M_{21} i_1

計算互感,可使用紐曼公式Neumann formula):

  • M_{21} = \frac{\mu_0}{4\pi}  \oint_{\mathbb{C}_1} \oint_{\mathbb{C}_2} \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}_1\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}_2}{|\mathbf{X}_2-\mathbf{X}_1|}

其中,\mu_0磁常數\mathbb{C}_1 是閉合迴路1,\mathbb{C}_2 是閉合迴路2,\mathbf{X}_1 是微小線元素 \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}_1 的位置,\mathbf{X}_2 是微小線元素 \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}_2 的位置。

由此公式可見,兩個線圈之間互感相同:M_{12} = M_{21} ,且互感是由兩個線圈的形狀、尺寸和相對位置而確定。

導引[編輯]

穿過閉合迴路2的磁通量 \Phi_{2}(t)

\Phi_{2}(t)=\int_{\mathbb{S}_2}\mathbf{B}_1(\mathbf{X}_2, t)\cdot \mathrm{d}\mathbf{a}_2

其中,\mathbb{S}_2 是邊緣為 \mathbb{C}_2 的任意曲面,\mathrm{d}\mathbf{a}_2 是微小面元素。

改用磁向量勢 \mathbf{A}_1 計算:

\mathbf{B}_1(\mathbf{X}_2, t)=\nabla_2\times\mathbf{A}_1(\mathbf{X}_2, t)

其中,\nabla_2 是對於變向量 \mathbf{X}_2 的偏微分。

應用斯托克斯公式,可以得到

\Phi_{2}(t)=\int_{\mathbb{S}_2}[\nabla_2\times\mathbf{A}_1(\mathbf{X}_2, t)]\cdot \mathrm{d}\mathbf{a}_2=\oint_{\mathbb{C}_2}\mathbf{A}_1(\mathbf{X}_2, t)\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}_2

磁向量勢 \mathbf{A}_1(\mathbf{X}_2, t) 的定義式為

\mathbf{A}_1(\mathbf{X}_2, t)\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\mu_0 i_1}{4\pi}\oint_{\mathbb{C}_1} \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}_1}{|\mathbf{X}_2-\mathbf{X}_1|}

磁通量與流動於閉合迴路1 \mathbb{C}_1 的電流 i_1 的關係式為

\Phi_{2}(t)=\frac{\mu_0 i_1}{4\pi} \oint_{\mathbb{C}_1}\oint_{\mathbb{C}_2}\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}_1\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}_2}{|\mathbf{X}_2-\mathbf{X}_1|}

所以,互感為

M_{21}=\frac{\mathrm{d}\Phi_2}{\mathrm{d}i_1}=\frac{\mu_0}{4\pi} \oint_{\mathbb{C}_1}\oint_{\mathbb{C}_2}\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}_1\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}_2}{|\mathbf{X}_2-\mathbf{X}_1|}

這方程式稱為紐曼公式Neumann formula)。注意到對換閉合迴路 \mathbb{C}_1\mathbb{C}_2 不會改變結果,M_{21}=M_{12} ,因此,可以以變數 M 統一代表。

類似地,穿過閉合迴路1的磁通量 \Phi_{1}(t)

\Phi_{1}(t)=\frac{\mu_0 i_1}{4\pi} \oint_{\mathbb{C}_1}\oint_{\mathbb{C}'_1}\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}_1\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}'_1}{|\mathbf{X}_1-\mathbf{X}'_1|}

除去所有下標,令 \mathbb{C}\mathbb{C}' 代表同一閉合迴路,自感以方程式表示為

L=\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}i}=\frac{\mu_0}{4\pi} \oint_{\mathbb{C}}\oint_{\mathbb{C}'}\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}'}{|\mathbf{X}-\mathbf{X}'|}

\mathbf{X}_1=\mathbf{X}'_1 時,這積分可能會發散,需要特別加以處理。另外,若假設閉合迴路為無窮細小,則在閉合迴路附近,磁場會變得無窮大,磁通量也會變得無窮大,所以,必須給予閉合迴路有限尺寸,設定其截面半徑 r_0 超小於徑長 \ell_0

有很多種方法可以化解這困難。例如,令 \mathbb{C} 為閉合迴路的中心曲軸,令 \mathbb{C}' 為閉合迴路的表面,則 \mathbf{X}_1\ne\mathbf{X}'_1 ,這積分就不會發散了[4]

電感與磁場能量[編輯]

將前面論述加以推廣,思考 K 條閉合迴路,設定第 k 條閉合迴路的捲繞匝數為 N_k ,載有電流 i_k ,則其磁鏈 N_{k}\Phi _{k}

N_{k}\Phi _{k}=\sum_{n=1}^{K}L_{k,n}i_{n}

其中,\Phi _{k} 是穿過第 k 條閉合迴路的磁通量,L_{k,k}=L_k 是自感,L_{k,n}=M_{k,n}, k\ne n 是互感。

由於第 n 條閉合迴路對於磁通量 \Phi _{k} 的總貢獻是捲繞匝數乘以電流,即 N_n i_n ,所以,L_{k,n} 與乘積 N_k N_n 成正比。

從法拉第電磁感應定律,可以得到

v_{k}=-\mathcal{E}_k=N_{k}\frac{\mathrm{d}\Phi _{k}}{\mathrm{d}t} =\sum_{n=1}^{K}L_{k,n}\frac{\mathrm{d}i_{n}}{\mathrm{d}t} =L_k\frac{\mathrm{d}i_k}{\mathrm{d}t}+\sum_{n=1,\ n\ne k}^{K}M_{k,n}\frac{\mathrm{d}i_{n}}{\mathrm{d}t}

其中,v_{k} 是第 k 條閉合迴路的感應電壓。

k 條閉合迴路的電功率 p_k

p_k=i_k v_k

假設原先所有電流為零,即 i_1=i_2=\dots=i_K=0 , 儲存於所有閉合迴路的總磁能為 0 。現在,將第一條閉合迴路的電流 i_1 平滑地從 0 增加到 I_1 ,同時保持其它閉合迴路的電流不變,則儲存於第一條閉合迴路的磁能 W_1

W_1=\int  i_1 v_1 \mathrm{d}t=\int_0^{I_1} i_1 L_1\mathrm{d}i_1=\frac{1}{2}L_1 I_1^2

然後,將第二條閉合迴路的電流 i_2 平滑地從 0 增加到 I_2 ,同時保持其它閉合迴路的電流不變,則儲存於第二條閉合迴路的磁能 W_2

W_2=\int  i_2 v_2 \mathrm{d}t=\int_0^{I_2} i_2 L_2\mathrm{d}i_2 +\int_0^{I_2}  I_1 M_{1,2}\mathrm{d}i_2
=\frac{1}{2}L_2 I_2^2+M_{1,2}I_1 I_2

案照這方法繼續地計算,儲存於第 k 條閉合迴路的磁能 W_k

W_k=\int  i_k v_k \mathrm{d}t=\int_0^{I_k} i_k L_k\mathrm{d}i_k +\sum_{n=1}^{k-1} \int_0^{I_k}  I_n M_{n,k}\mathrm{d}i_k
=\frac{1}{2}L_k I_k^2+\sum_{n=1}^{k-1}M_{n,k}I_n I_k

所以,當每一個閉合迴路的電流都平滑地增加到其最終電流之後,儲存於所有閉合迴路的總磁能 W[5]

W=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{K}L_k I_k^2+\sum_{k=1}^{K}\sum_{n=1}^{k-1}M_{n,k}I_n I_k
=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{K}L_k I_k^2+\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{K}\sum_{n=1,n\ne k}^{K}M_{n,k}I_n I_k

假設將 I_nI_k 的數值交換,總磁能 W 不會改變。滿足可積分條件 \frac{\partial^2{W}}{\partial I_n \partial I_k}=\frac{\partial^2{W}}{\partial I_k \partial I_n} ,必需要求 L_{k,n}=L_{n,k} 成立。所以,電感矩陣 L_{k,n} 是個對稱矩陣

從物理角度來看,上述增加電流方法並不是唯一方法,還有其它很多種增加電流方法。由於能量守恆,沒有任何耗散能量。所以,不論選擇哪一種方法,只要每一條閉合迴路的電流增加到其最終電流,則儲存的總磁能都相等。

串聯與並聯電路[編輯]

串聯電路[編輯]

Inductors in series.svg

如右圖所示,n電感器串聯在一起。現將電源連接於這串聯電路的兩端。按照電感的定義,第 k 個電感器兩端的電壓 v_k 等於其電感 L_k 乘以通過的電流的變率 \frac{\mathrm{d}i_k}{\mathrm{d}t}

v_k=L_k \frac{\mathrm{d}i_k}{\mathrm{d}t}

按照克希荷夫電流定律,從電源(直流電交流電)給出的電流 i 等於通過每一個電感器的電流 i_k 。所以,

i=i_1=i_2= \cdots =i_n

根據克希荷夫電壓定律,電源兩端的電壓等於所有電感器兩端的電壓的代數和:

v=v_1 +v_2 + \cdots +v_n=L_1\frac{\mathrm{d}i_1}{\mathrm{d}t} +L_2\frac{\mathrm{d}i_2}{\mathrm{d}t} + \cdots +L_n\frac{\mathrm{d}i_n}{\mathrm{d}t}=(L_1 + L_2 + \cdots + L_n)\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}

所以,n 個電感器串聯的等效電感 L_{eq}

L_{eq} = L_1 + L_2 + \cdots + L_n

由於電感器產生的磁場會與其鄰近電感器的纏繞線圈發生耦合,很難避免緊鄰的電感器彼此互相影響。物理量互感 M 能夠給出對於這影響的衡量。

例如,由電感分別為 L_1L_2 ,互感為 M 的兩個電感器構成的串聯電路,其等效互感 L_{eq} 有兩種可能:

  • 假設兩個電感器分別產生的磁場或磁通量,其方向相同,則稱為「串聯互助」,以方程式表示,
L_{eq} = L_1 + L_2 +2M
  • 假設兩個電感器分別產生的磁場或磁通量,其方向相反,則稱為「串聯互消」,以方程式表示,
L_{eq} = L_1 + L_2 - 2M

對於具有三個或三個以上電感器的串聯電路,必需考慮到每個電感器自己本身的自感和電感器與電感器之間的互感,這會使得計算更加複雜。等效電感是所有自感與互感的代數和。

例如,由三個電感器構成的串聯電路,會涉及三個自感和六個互感。三個電感器的自感分別為 M_{11}M_{22}M_{33} ;互感分別為 M_{12}M_{13}M_{23}M_{21}M_{31}M_{32} 。等效電感為

L_{eq} = (M_{11} + M_{22} + M_{33}) + (M_{12} + M_{13} + M_{23}) + (M_{21} + M_{31} + M_{32})

由於任意兩個電感器彼此之間的互感相等,M_{ij} = M_{ji} ,後面兩組互感可以合併:

L_{eq} = (M_{11} + M_{22} + M_{33}) +2 (M_{12} + M_{13} + M_{23})

導引[編輯]

串聯互助電路圖。
串聯互消電路圖。

如右圖所示,兩個電感器串聯互助在一起。將電源連接於這串聯電路的兩端。應用克希荷夫電壓定律,按照點規定,可以得到

-v+L_1\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}+M\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} +L_2\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}+M\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}=0

其中,v 是電源兩端的電壓,i 是電流。

電壓 v 和電流 i 之間的關係為

v=(L_1 + L_2 +2M)\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}

所以,兩個電感器串聯互助的有效電感為

L_{eq}=L_1 + L_2 +2M

類似地,可以得到兩個電感器串聯互消的有效電感。

並聯電路[編輯]

Inductors in parallel.svg

如右圖所示,n電感器並聯在一起,類似前面所述方法,可以計算出其等效電感 L_{eq}

\frac{1}{L_{eq}} =\frac{1}{L_1} +\frac{1}{L_2}+ \cdots +\frac{1}{L_n}

由於電感器產生的磁場會與其鄰近電感器的纏繞線圈發生耦合,很難避免緊鄰的電感器彼此互相影響。物理量互感 M 能夠給出對於這影響的衡量。上述方程式描述 n 個電感器無互感並聯的理想案例。

由電感分別為 L_1L_2 ,互感為 M 的兩個電感器構成的並聯電路,其等效互感 L_{eq}[6]

  • 假設兩個電感器分別產生的磁場或磁通量,其方向相同,則稱為「並聯互助」,以方程式表示,
L_{eq}=\frac{L_1L_2-M^2}{L_1+L_2-2M}
  • 假設兩個電感器分別產生的磁場或磁通量,其方向相反,則稱為「並聯互消」,以方程式表示,
L_{eq}=\frac{L_1L_2-M^2}{L_1+L_2+2M}

對於具有三個或三個以上電感器的並聯電路,必需考慮到每個電感器自己本身的自感和電感器與電感器之間的互感,這會使得計算更加複雜。

導引[編輯]

並聯互助電路圖。
並聯互消電路圖。

如右圖所示,兩個電感器並聯互助在一起。將電源連接於這並聯電路的兩端。應用克希荷夫電壓定律,按照點規定,可以得到

-v+L_1\frac{\mathrm{d}i_1}{\mathrm{d}t}+M\frac{\mathrm{d}i_2}{\mathrm{d}t}=0
-v+L_2\frac{\mathrm{d}i_2}{\mathrm{d}t}+M\frac{\mathrm{d}i_1}{\mathrm{d}t}=0

其中,v 是電源兩端的電壓,i_1i_2 分別是通過兩個支路的電流。

所以,電流 i_1i_2 之間的關係為

\frac{\mathrm{d}i_2}{\mathrm{d}t} =\frac{L_1-M}{L_2-M}\ \frac{\mathrm{d}i_1}{\mathrm{d}t}

應用克希荷夫電流定律,總電流 i

i=i_1+i_2

電流 i_1i 之間的關係為

\frac{\mathrm{d}i_1}{\mathrm{d}t} =\frac{L_2-M}{L_1+L_2-2M}\ \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}

電壓 v 和電流 i 之間的關係為

v=\frac{L_1L_2-M^2}{L_1+L_2-2M}\ \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}

所以,兩個電感器並聯互助的有效電感為

L_{eq}=\frac{L_1L_2-M^2}{L_1+L_2-2M}

類似地,可以得到兩個電感器並聯互消的有效電感。

鏡像法[編輯]

對於某些案例,不同的電流分佈會在空間的一些區域產生同樣的磁場。這論據可以用來計算電感。例如,思考以下兩個系統:

  • 一條筆直的載流導線與導體牆之間的距離為 d/2
  • 兩條互相平行、載有異向電流的導線,彼此之間的距離為 d

這兩個系統的磁場在導體牆外的半空間half-space)相等。第二個系統的磁能與電感分別是第一個系統的兩倍。

非線性電感[編輯]

很多電感器是用磁性材料製成。假若磁場超過材料的飽和度,則這些材料會顯示出非線性磁導率行為與伴隨的磁飽和效應,從而促使電感成為施加電流的函數。雖然法拉第電磁感應定律仍舊成立,但電感會具有多重歧義,依計算電路參數或磁通量而不同。

「大信號電感」是用來計算磁通量,以方程式定義為

L_s(i)\ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \frac{N\Phi}{i} = \frac{\Lambda}{i}

「小信號電感」是用來計算電壓,以方程式定義為

L_d(i)\ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \frac{d(N\Phi)}{di} = \frac{d\Lambda}{di}

非線性電感器的電壓為

v(t) = \frac{d\Lambda}{dt} = \frac{d\Lambda}{di}\frac{di}{dt} = L_d(i)\frac{di}{dt}

類似地,可以給出非線性互感的定義。

簡單電路的自感[編輯]

很多種電路的自感可以以閉形式給出:

種類  L/\mu_0 註釋
單層
螺線管[7]
 \frac{r^{2}N^{2}}{3\ell}\left\{ -8w + 4\frac{\sqrt{1+m}}{m}\left( K\left( \sqrt{\frac{m}{1+m}}     \right)
-\left( 1-m\right) E\left( \sqrt{ \frac{m}{1+m}}    \right) \right)
\right\}

=\frac{r^2N^2\pi}{\ell}\left\{ 1-\frac{8w}{3\pi }+\sum_{n=1}^{\infty }
\frac {\left( 2n\right)!^2} {n!^4 \left(n+1\right)\left(2n-1\right)2^{2n}}
\left( -1\right) ^{n+1}w^{2n}\right\}
 =\frac {r^2N^2\pi}{\ell}\left( 1 - \frac{8w}{3\pi} + \frac{w^2}{2} - \frac{w^4}{4} + \frac{5w^6}{16} - \frac{35w^8}{64} + ... \right) \ ,\quad w\ll 1
= rN^2 \left\{ \left( 1 + \frac{1}{32w^2} + O(\frac{1}{w^4}) \right) \ln{8w} - 1/2 + \frac{1}{128w^2} + O(\frac{1}{w^4}) \right\} \ ,\quad w\gg 1

N :捲繞匝數
r :半徑
\ell :長度
w = r/l 
m = 4w^2
E,K橢圓積分
同軸電纜
(高頻率)
 \frac {\ell}{2\pi} \ln{\frac {r_o}{r_i}} r_o :外半徑
r_i :內半徑
\ell :長度
圓形迴圈[8] r \cdot \left( \ln{ \frac {8 r}{a}} - 2 + \frac{Y}{2} + O\left(a^2/r^2\right) \right) r :迴圈半徑
a :導線半徑
長方形
迴圈
\frac{1}{\pi}\left(b\ln{\frac {2 b}{a}} + d\ln{\frac {2d}{a}} - \left(b+d\right)\left(2-\frac{Y}{2}\right)
+2\sqrt{b^2+d^2} \right.

\left. -b\cdot\operatorname{arsinh}{\frac {b}{d}}-d\cdot\operatorname{arsinh}{\frac {d}{b}} + O\left(a\right) 
\right)

a :導線半徑
b :邊長
d :邊寬
b,d\gg a
一對
平行導線
 \frac {\ell}{\pi} \left( \ln{\frac {d}{a}} + Y/2 \right) a :導線半徑
d :距離
d\ge 2a
\ell :長度
一對
平行導線
(高頻率)
 \frac{\ell}{\pi }\operatorname{arcosh}\left( \frac{d}{2a}\right) = \frac{\ell}{\pi }\ln \left( \frac{d}{2a}+\sqrt{\frac{d^{2}}{4a^{2}}-1}\right) a :導線半徑
d :距離
d\ge 2a
\ell :長度
導線平行
於導體牆
 \frac {\ell}{2\pi} \left( \ln{\frac {2d}{a}} + Y/2 \right) a :導線半徑
d :距離
d\ge a
\ell :長度
導線平行
於導體牆
(高頻率)
 \frac{\ell}{2\pi }\operatorname{arcosh}\left( \frac{d}{a}\right)=\frac{\ell}{2\pi }\ln \left(\frac{d}{a}+\sqrt{\frac{d^{2}}{a^{2}}-1}\right) a :導線半徑
d :距離
d\ge a
\ell :長度

對於高頻率案例,由於集膚效應,電流均勻地分佈於導體表面。依幾何組態不同,有時必須分為低頻率和高頻率案例,因此必須增加參數 Y

  • Y =1/2 :電流均勻地分佈於整個導體截面。
  • Y = 0 :集膚效應,電流均勻地分佈於導體表面。
  • 對於高頻率案例,假若導體彼此移向對方,另外會有屏蔽電流流動於導體表面,含有參數 Y 的表達式不成立。

參閱[編輯]

參考資料[編輯]

  1. ^ Heaviside, O. Electrician. Feb. 12, 1886, p. 271. 見 該文集的再版
  2. ^ Glenn Elert. The Physics Hypertextbook: Inductance. 1998-2008. 
  3. ^ Michael W. Davidson. Molecular Expressions: Electricity and Magnetism Introduction: Inductance. 1995-2008. 
  4. ^ Bansal, Rajeev, Fundamentals of engineering electromagnetics. illustrated, CRC Press. 2006:  pp. 154, ISBN 9780849373602 
  5. ^ Alexander, Charles; Sadiku, Matthew, Fundamentals of Electric Circuits. 3, revised, McGraw-Hill. 2006:  pp. 564-565, ISBN 9780073301150 
  6. ^ Ghosh, Smarajit, Fundamentals of Electrical and Electronics Engineering, PHI Learning Pvt. Ltd.. 2004:  pp. 113-117, ISBN 9788120323162 
  7. ^ Lorenz, L. Über die Fortpflanzung der Elektrizität. Annalen der Physik. 1879, VII: 161–193. (這表達式給出面電流流動於圓柱體表面的電感). 
  8. ^ Elliott, R. S. Electromagnetics. New York: IEEE Press. 1993.  對於均勻電流分佈,答案裏不應該有常數 -3/2 。
  • Frederick W. Grover. Inductance Calculations. Dover Publications, New York. 1952. 
  • Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998. ISBN 0-13-805326-X.