此條目介紹的是拓撲學中的邊界。關於流形中的邊界，請見「
流形 」。
集合（淺藍色）和它的邊界（深藍色）。 邊界 ，（英語：boundary ），是點集拓樸的概念，拓撲空間 X 的子集 S 的邊界 是從 S 和從 S 的外部 都可以接近的點的集合。更嚴格的說，它是屬於 S 的閉包 但不是 S 的內點 的所有點的集合。S 的邊界的元素叫做 S 的邊界點 （英語：boundary point ）。集合 S 的邊界的符號包括 bd(S )、fr(S ) 和 ，
∂
S
{\displaystyle \partial S}
General Topology 中）使用術語「邊境」（frontier）而不用邊界來試圖避免混淆於代數拓撲學中使用的邊界概念。
S 的邊界的連通單元 叫做 S 的邊界單元 。
拓撲空間
(
X
,
τ
)
{\displaystyle (X,\tau )}
S
{\displaystyle S}
邊界 （記為
∂
S
{\displaystyle \partial S}
S
{\displaystyle S}
閉包 減去
S
{\displaystyle S}
內部 ：
∂
S
=
S
¯
−
S
o
{\displaystyle \partial S={\bar {S}}-S^{o}}
S
{\displaystyle S}
補集 的閉包的交集：
∂
S
=
S
¯
∩
(
X
−
S
)
¯
{\displaystyle \partial S={\bar {S}}\cap {\overline {(X-S)}}}
∂
S
{\displaystyle \partial S}
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
鄰域 都包含至少一個屬於
S
{\displaystyle S}
S
{\displaystyle S}
x
{\displaystyle x}
S
{\displaystyle S}
邊界點 。集合的邊界是閉集 。
p 是某集合的邊界點，若且唯若 所有 p 的鄰域包含至少一個點屬於該集合且至少一個點不屬於該集合。某集合的邊界等於該集合的閉包和該集合的補集的閉包的交集。
某集合是閉集，若且唯若該集合的邊界在該集合中；某集合是開集 ，若且唯若該集合與其邊界不相交。
某集合的邊界等於其補集的邊界。
某集合的閉包等於該集合和其邊界的併集。
某集合的邊界為空，若且唯若該集合既是開集也是閉集(也就是閉開集 )。 若
X
=
[
0
,
5
)
{\displaystyle X=[0,5)\,}
∂
X
=
{
0
,
5
}
{\displaystyle \partial X=\{0,5\}}
∂
B
¯
(
a
,
r
)
=
B
¯
(
a
,
r
)
−
B
(
a
,
r
)
{\displaystyle \partial {\overline {B}}(\mathbf {a} ,r)={\overline {B}}(\mathbf {a} ,r)-B(\mathbf {a} ,r)}
∂
D
n
≃
S
n
−
1
{\displaystyle \partial D^{n}\simeq S^{n-1}}
∂
∅
=
∅
{\displaystyle \partial \emptyset =\emptyset }
在 R 3 中，若 Ω=x 2 +y 2 ≤ 1且Z=0，則 ∂Ω = Ω；但在 R 2 中，∂Ω = {(x , y ) | x 2 +y 2 = 1}。所以，集合的邊界依賴其背景空間。
