均勻連續

均勻連續又稱一致連續，（英語：uniformly continuous），為數學分析的專有名詞，大致來講是描述對於函數 $f(\cdot )$ 我們只要在定義域中讓任意兩點 $x$ 跟 $y$ 越來越接近，我們就可以讓 $f(x)$ 跟 $f(y)$ 無限靠近，這跟一般的連續函數不同之處在於：$f(x)$ 跟 $f(y)$ 之間的距離並不依賴 $x$ 跟 $y$ 的位置選擇。 均勻連續是比連續更苛刻的條件。一個函數在某度量空間上均勻連續，則其在此度量空間上必然連續，但反之未必成立。

正式的 ε-δ 定義

設 $(X,d_{1})$ 和 $(Y,d_{2})$ 皆是度量空間，我們說函數 $f:X\to Y$ 均勻連續，這代表對任意的 $\epsilon >0$，存在 $\delta >0$，使得定義域中任意兩點 $x,y$ 只要 $d_{1}(x,y)<\delta$，就有 $d_{2}(f(x),f(y))<\epsilon$。

當 $X$ 和$Y$ 都是實數的子集合，$d_{1}$ 和 $d_{2}$ 為絕對值 $|\cdot |$ 時，均勻連續的定義可表述為：如果對任意的 $\epsilon >0$，存在 $\delta >0$，使得對任意兩點 $|x-y|<\delta$，都有 $|f(x)-f(y)|<\epsilon$，則稱函數 $f$ 在 $X$上均勻連續。

均勻連續跟在每點連續最大的不同在於：在均勻連續定義中，正數 $\delta$ 的選擇只依賴 $\epsilon$ 這變數，而不依賴定義域上點的位置。

均勻連續性定理

定理：

一個從緊緻度量空間到度量空間的連續函數是均勻連續的。

證明：

設函數$f:X\to Y$，$(X,d_{1})$為緊緻度量空間，$(Y,d_{2})$為度量空間。

假設$f$不是均勻連續的，則存在一個$\epsilon >0$，對於任意$n$都存在$x_{n},y_{n}$滿足條件$d_{1}(x_{n},y_{n})<{\tfrac {1}{n}}$並且$d_{2}(f(x_{n}),f(y_{n}))\geq \epsilon$。

因為$X$為緊緻度量空間，$X$是序列緊緻的，所以存在一個$(x_{n})$的收斂子序列$(x_{k_{n}})$，設其收斂到$x$。

$d_{1}(x_{k_{n}},y_{k_{n}})<{\tfrac {1}{k_{n}}}\leq {\tfrac {1}{n}}\to 0$，所以$(y_{k_{n}})\to x$。

因為$f$連續，$\epsilon \leq d_{2}(f(x_{k_{n}}),f(y_{k_{n}}))\to d_{2}(f(x),f(x))=0$，矛盾，定理得證。

均勻連續相比於連續是一個更強的結論。一般情況下，連續不意味著均勻連續。

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