佛客-普朗克方程式

佛客–普朗克方程式 (Fokker–Planck equation)

描述粒子在位能場中受到隨機力後，隨時間演化的位置或是速度的分布函數 。此方程式以德國物理學家阿德曆安·佛客(A. D. Fokker) 與馬克斯·普朗克(M. Planck)的姓氏來命名。

一維 x方向上,佛客–普朗克方程式 有兩個參數，一是拖曳參數 D₁(x,t) and 另一是擴散 D₂(x,t)

$\frac{\partial}{\partial t}f(x,t)=-\frac{\partial}{\partial x}\left[ D_{1}(x,t)f(x,t)\right] +\frac{\partial^2}{\partial x^2}\left[ D_{2}(x,t)f(x,t)\right].$

在$N$ 維空間中的佛客–普朗克方程式是

$\frac{\partial f}{\partial t} = -\sum_{i=1}^N \frac{\partial}{\partial x_i} \left[ D_i^1(x_1, \ldots, x_N) f \right] + \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{N} \frac{\partial^2}{\partial x_i \, \partial x_j} \left[ D_{ij}^2(x_1, \ldots, x_N) f \right],$ $x_i$ 是第$i$維度的位置，此時 $D^1$為拖曳 向量 and $D^2$為 擴散 張量。

與隨機方程式的關係

佛客–普朗克方程式 可以用來計算隨機過程裡 隨機微分方程式中 分布函數的解。

一個受隨機力的古典粒子，經由朗之萬方程式(Langevin equation)可以得到佛客–普朗克方程式。另外再藉由佛客–普朗克方程式也可推導薛丁格方程式 。

相關條目

• 馬克斯·普朗克和阿德曆安·佛客
• 朗之萬方程式(Langevin equation)
• （英文）Ornstein–Uhlenbeck process

延伸閱讀

• Hannes Risken, "The Fokker–Planck equation : Methods of Solutions and Applications", 2nd edition, Springer Series in Synergetics, Springer, ISBN 3-540-61530-X.

外部連結

• 佛客–普朗克 方程式 on the Earliest known uses of some of the words of mathematics