福克-普朗克方程

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FokkerPlanck.gif

福克-普朗克方程Fokker–Planck equation)描述粒子位能場中受到隨機力後,隨時間演化的位置或是速度分布函數 [1] 。此方程式以德國物理學家阿德曆安·福克[2]馬克斯·普朗克[3]的姓氏來命名。

一維 x方向上,福克-普朗克方程有兩個參數,一是拖曳參數 D1(x,t),另一是擴散 D2(x,t)

\frac{\partial}{\partial t}f(x,t)=-\frac{\partial}{\partial x}\left[ D_{1}(x,t)f(x,t)\right] +\frac{\partial^2}{\partial x^2}\left[ D_{2}(x,t)f(x,t)\right].

N 空間中的福克-普朗克方程是

\frac{\partial f}{\partial t} = -\sum_{i=1}^N \frac{\partial}{\partial x_i} \left[ D_i^1(x_1, \ldots, x_N) f \right] + \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{N} \frac{\partial^2}{\partial x_i \, \partial x_j} \left[ D_{ij}^2(x_1, \ldots, x_N) f \right], x_i 是第i維度的位置,此時 D^1為拖曳向量D^2擴散張量

與隨機方程式的關係[编辑]

福克-普朗克方程可以用來計算隨機過程隨機微分方程式分布函數的解。

一個受隨機力的古典粒子,經由朗之萬方程式(Langevin equation)可以得到福克-普朗克方程。另外再藉由福克-普朗克方程也可推導薛丁格方程式 [4]

參考資料[编辑]

  1. ^ Leo P. Kadanoff. Statistical Physics: statics, dynamics and renormalization. World Scientific. 2000. ISBN 9810237642. 
  2. ^ A. D. Fokker, Die mittlere Energie rotierender elektrischer Dipole im Strahlungsfeld, Ann. Phys. 348 (4. Folge 43), 810–820 (1914).
  3. ^ M. Planck, Sitz.ber. Preuß. Akad. (1917).
  4. ^ Edward Nelson ,"Derivation of the Schrödinger Equation from Newtonian Mechanics",Phys. Rev. 150, 1079–1085 (1966)

相關條目[编辑]

延伸閱讀[编辑]

  • Hannes Risken, "The Fokker–Planck equation : Methods of Solutions and Applications", 2nd edition, Springer Series in Synergetics, Springer, ISBN 3-540-61530-X.

外部連結[编辑]