68–95–99.7法則
外观
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在統計上,68–95–99.7法則(68–95–99.7 rule)是在正態分佈中,距平均值小於一個標準差、二個標準差、三個標準差以內的百分比,更精確的數字是68.27%、95.45%及99.73%。若用數學用語表示,其算式如下,其中X為常態分布隨機變數的觀測值,μ為分佈的平均值,而σ為標準差:
在實驗科學中有對應正態分佈的三西格馬法則(three-sigma rule of thumb),是一個簡單的推論,內容是「幾乎所有」的值都在平均值正負三個標準差的範圍內,也就是在實驗上可以將99.7%的機率視為「幾乎一定」[1]。不過上述推論是否有效,會視探討領域中「顯著」的定義而定,在不同領域,「顯著」(significant)的定義也隨著不同,例如在社會科學中,若置信区间是在正負二個標準差(95%)的範圍,即可視為顯著。但是在粒子物理中,若是發現新的粒子,置信区间要到正負五個標準差(99.99994%)的程度。
在不是正態分佈的情形下,也有另一個對應的三西格馬法則(three-sigma rule),即使是在非正態分佈的情形下,至少會有88.8%的機率會在正負三個標準差的範圍內,這是依照切比雪夫不等式的結果。若是單模分佈(unimodal distributions)下,正負三個標準差內的機率至少有95%,若一些符合特定條件的分佈,機率至少會到98%[2] 。
數值表
[编辑]由于正态分布含有指数项的特性,超出某个标准差范围的概率会随着该范围的扩大而大幅减小。假如某实验每天进行一次,则实验结果超出某标准差范围的频率可列为下表:
範圍 | 預期的样本比例在範圍內 | 近似預期頻率超出範圍 | 近似頻率(假设每天实验一次) |
---|---|---|---|
μ ± 0.5σ | 0.382924922548026 | 3次中发生2次 | 每星期四至五次 |
μ ± σ | 0.682689492137086[3] | 3次中发生1次 | 每星期兩次 |
μ ± 1.5σ | 0.866385597462284 | 7次中发生1次 | 每星期 |
μ ± 2σ | 0.954499736103642[4] | 22次中发生1次 | 每三個星期 |
μ ± 2.5σ | 0.987580669348448 | 81次中发生1次 | 每三个月 |
μ ± 3σ | 0.997300203936740[5] | 370次中发生1次 | 每年 |
μ ± 3.5σ | 0.999534741841929 | 2 149次中发生1次 | 每六年 |
μ ± 4σ | 0.999936657516334 | 15 787次中发生1次 | 每43 年(约一生两次) |
μ ± 4.5σ | 0.999993204653751 | 160次中发生1次 147 | 每403 年(近代以来仅1次) |
μ ± 5σ | 0.999999426696856 | 744278次中发生1次 1 | 每年( 4776人类记录历史以来仅1次) |
μ ± 5.5σ | 0.999999962020875 | 330254次中发生1次 26 | 每090年( 72智人出现以来仅4次) |
μ ± 6σ | 0.999999998026825 | 797346次中发生1次 506 | 每138萬年(直立人出现以来仅1-2次) |
μ ± 6.5σ | 0.999999999919680 | 450197393次中发生1次 12 | 每3400萬年(恐龙灭绝以来仅2次) |
μ ± 7σ | 0.999999999997440 | 682215445次中发生1次 390 | 每10.7億年(地球诞生以来仅4次) |
μ ± xσ | 次中发生1次 | 每天 |
参考文献
[编辑]- ^ 「三西格馬法則」的用法大約是在公元2000年代時出現,有刊載在Schaum's Outline of Business Statistics. McGraw Hill Professional. 2003: 359及Grafarend, Erik W. Linear and Nonlinear Models: Fixed Effects, Random Effects, and Mixed Models. Walter de Gruyter. 2006: 553.上
- ^ See:
- Wheeler, D. J.; Chambers, D. S. Understanding Statistical Process Control. SPC Press. 1992.
- Czitrom, Veronica; Spagon, Patrick D. Statistical Case Studies for Industrial Process Improvement. SIAM. 1997: 342.
- Pukelsheim, F. The Three Sigma Rule. American Statistician. 1994, 48: 88–91.
- ^ Sloane, N.J.A. (编). Sequence A178647. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
- ^ Sloane, N.J.A. (编). Sequence A110894. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
- ^ Sloane, N.J.A. (编). Sequence A270712. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.