射線出原點交單位雙曲線
x
2
−
y
2
=
1
{\displaystyle \scriptstyle x^{2}\ -\ y^{2}\ =\ 1}
於點
(
cosh
a
,
sinh
a
)
{\displaystyle \scriptstyle (\cosh \,a,\,\sinh \,a)}
,這裡的
a
{\displaystyle \scriptstyle a}
是射線、雙曲線和
x
{\displaystyle \scriptstyle x}
軸圍成的面積的二倍。對於雙曲線上位於x軸下方的點,這個面積被認為是負值。
在数学 中,双曲函数 是一类与常见的三角函数 (也叫圆函数)类似的函数。最基本的双曲函数是双曲正弦 函数
sinh
{\displaystyle \sinh }
和双曲余弦 函数
cosh
{\displaystyle \cosh }
,从它们可以导出双曲正切 函数
tanh
{\displaystyle \tanh }
等,其推导也类似于三角函数的推导。双曲函数的反函数称为反双曲函数 。
双曲函数的定义域是实数,其自变量的值叫做双曲角 。双曲函数出现于某些重要的线性微分方程 的解中,譬如說定义悬链线 和拉普拉斯方程 。
基本定义
sinh , cosh 和tanh
csch , sech 和coth
sinh
x
=
e
x
−
e
−
x
2
{\displaystyle \sinh x={{e^{x}-e^{-x}} \over 2}}
cosh
x
=
e
x
+
e
−
x
2
{\displaystyle \cosh x={{e^{x}+e^{-x}} \over 2}}
tanh
x
=
sinh
x
cosh
x
{\displaystyle \tanh x={{\sinh x} \over {\cosh x}}}
coth
x
=
1
tanh
x
{\displaystyle \coth x={1 \over {\tanh x}}}
s
e
c
h
x
=
1
cosh
x
{\displaystyle {\mathop {\rm {sech}} }x={1 \over {\cosh x}}}
c
s
c
h
x
=
1
sinh
x
{\displaystyle {\mathop {\rm {csch}} }x={1 \over {\sinh x}}}
函数
cosh
x
{\displaystyle \cosh x\!}
是关于y 轴对称的偶函数 。函数
sinh
x
{\displaystyle \sinh x\!}
是奇函数 。
如同当
t
{\displaystyle t}
遍历实数集
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
时,点(
cos
t
{\displaystyle \cos t\!}
,
sin
t
{\displaystyle \sin t\!}
)的轨迹是一个圆
x
2
+
y
2
=
1
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}
一样,当
t
{\displaystyle t}
遍历实数集
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
时,点(
cosh
t
{\displaystyle \cosh t\!}
,
sinh
t
{\displaystyle \sinh t\!}
)的轨迹是單位雙曲線
x
2
−
y
2
=
1
{\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}
的右半边。这是因为有以下的恒等式:
cosh
2
t
−
sinh
2
t
=
1
{\displaystyle \cosh ^{2}t-\sinh ^{2}t=1\,}
参数t 不是圆角 而是双曲角 ,它表示在x 轴和连接原点和双曲线上的点(
cosh
t
{\displaystyle \cosh t\!}
,
sinh
t
{\displaystyle \sinh t\!}
)的直线之间的面积的两倍。
歷史
在直角雙曲線 (方程y = 1/x )下,雙曲線三角形(黃色),和對應於雙曲角 u 的雙曲線扇形 (紅色)。這個三角形的邊分別是雙曲函數 中cosh和sinh的√2倍。
在18世紀,約翰·海因里希·蘭伯特 引入雙曲函數[1] ,並計算了雙曲幾何 中雙曲三角形 的面積[2] 。自然對數 函數是在直角雙曲線
x
y
=
1
{\displaystyle xy=1}
下定義的,可構造雙曲線直角三角形,底邊在線
y
=
x
{\displaystyle y=x}
上,一個頂點是原點,另一個頂點在雙曲線。這裡以自然對數 即雙曲角作為參數的函數,是自然對數的逆函數指數函數 ,即要形成指定雙曲角 u ,在漸近線即x或y軸上需要有的x或y的值。顯見這裡的底邊是
(
e
u
+
e
−
u
)
2
2
{\displaystyle \left(e^{u}+e^{-u}\right){\frac {\sqrt {2}}{2}}}
,垂線是
(
e
u
−
e
−
u
)
2
2
{\displaystyle \left(e^{u}-e^{-u}\right){\frac {\sqrt {2}}{2}}}
。
通過旋轉和縮小線性變換 ,得到單位雙曲線 下的情況,有:
cosh
u
=
e
u
+
e
−
u
2
{\displaystyle \cosh u={\frac {e^{u}+e^{-u}}{2}}}
sinh
u
=
e
u
−
e
−
u
2
{\displaystyle \sinh u={\frac {e^{u}-e^{-u}}{2}}}
單位雙曲線 中雙曲線扇形的面積是對應直角雙曲線
x
y
=
1
{\displaystyle xy=1}
下雙曲角的 1/2。
虛數圓角定義
雙曲角 經常定義得如同虛數 圓角 。實際上,如果x 是實數而i2 = −1,則
cos
(
i
x
)
=
cosh
(
x
)
,
{\displaystyle \cos(ix)=\cosh(x),\quad }
−
i
sin
(
i
x
)
=
sinh
(
x
)
.
{\displaystyle -i\sin(ix)=\sinh(x).}
所以雙曲函數cosh和sinh可以通過圓函數 來定義。這些恆等式不是從圓或旋轉得來的,它們應當以無窮級數 的方式來理解。特別是,可以將指數函數 表達為由偶次項和奇次項組成,前者形成cosh函數,後者形成了sinh函數。cos函數的無窮級數可從cosh得出,通過把它變為交錯級數 ,而sin函數可來自將sinh變為交錯級數。上面的恆等式使用虛數i,從三角函數的級數的項中去掉交錯因子(−1)n ,來恢復為指數函數的那兩部份級數。
e
x
=
cosh
x
+
sinh
x
{\displaystyle e^{x}=\cosh x+\sinh x\!}
cosh
x
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
(
2
n
)
!
sinh
x
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
cos
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
(
2
n
)
!
sin
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
{\displaystyle {\begin{array}{lcl}\cosh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}&\sinh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}&\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\\end{array}}}
雙曲函數可以通過虛數圓角定義為:
sinh
x
=
−
i
sin
(
i
x
)
{\displaystyle \sinh x=-i\sin(ix)\!}
cosh
x
=
cos
(
i
x
)
{\displaystyle \cosh x=\cos(ix)\!}
tanh
x
=
−
i
tan
(
i
x
)
{\displaystyle \tanh x=-i\tan(ix)\!}
coth
x
=
i
cot
(
i
x
)
{\displaystyle \coth x=i\cot(ix)\!}
sech
x
=
sec
(
i
x
)
{\displaystyle \operatorname {sech} x=\sec(ix)\!}
csch
x
=
i
csc
(
i
x
)
{\displaystyle \operatorname {csch} x=i\csc(ix)\!}
這些複數 形式的定義得出自歐拉公式 。
與三角函數的類比
奧古斯都·德·摩根 在其1849年出版的教科書《Trigonometry and Double Algebra》中將圓三角學 擴展到了雙曲線 [3] 。威廉·金頓·克利福德 在1878年使用雙曲角來參數化 單位雙曲線 。
給定相同的角α,在雙曲線上計算雙曲角的量值 (雙曲扇形面積 除以 半徑 )得到雙曲函數,角α得到三角函數 。在單位圓 和單位雙曲線 上,双曲函数与三角函数 有如下的关係:
恆等式
与双曲函数有关的恆等式 如下:
cosh
2
x
−
sinh
2
x
=
1
{\displaystyle \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1\,}
sinh
(
x
+
y
)
=
sinh
x
cosh
y
+
cosh
x
sinh
y
{\displaystyle \sinh(x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y\,}
cosh
(
x
+
y
)
=
cosh
x
cosh
y
+
sinh
x
sinh
y
{\displaystyle \cosh(x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y\,}
tanh
(
x
+
y
)
=
tanh
x
+
tanh
y
1
+
tanh
x
tanh
y
{\displaystyle \tanh(x+y)={\frac {\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}}\,}
sinh
2
x
=
2
sinh
x
cosh
x
{\displaystyle \sinh 2x\ =2\sinh x\cosh x\,}
cosh
2
x
=
cosh
2
x
+
sinh
2
x
=
2
cosh
2
x
−
1
=
2
sinh
2
x
+
1
{\displaystyle \cosh 2x\ =\cosh ^{2}x+\sinh ^{2}x=2\cosh ^{2}x-1=2\sinh ^{2}x+1\,}
cosh
2
x
2
=
cosh
x
+
1
2
{\displaystyle \cosh ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\cosh x+1}{2}}}
sinh
2
x
2
=
cosh
x
−
1
2
{\displaystyle \sinh ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\cosh x-1}{2}}}
由于雙曲函數和三角函数之间的对应关系,雙曲函數的恆等式和三角函數的恒等式之间也是一一对应的。对于一个已知的三角函数公式,只需要將其中的三角函數轉成相應的雙曲函數,并将含有有兩個sinh的積的项(包括
coth
2
x
,
tanh
2
x
,
csch
2
x
,
sinh
x
sinh
y
{\displaystyle \coth ^{2}x,\tanh ^{2}x,\operatorname {csch} ^{2}x,\sinh x\sinh y}
)轉換正負號,就可得到相應的雙曲函數恆等式[4] 。如
三角函数的三倍角公式为:
sin
3
x
=
3
sin
x
−
4
sin
3
x
{\displaystyle \sin 3x\ =3\sin x-4\sin ^{3}x}
cos
3
x
=
−
3
cos
x
+
4
cos
3
x
{\displaystyle \cos 3x\ =-3\cos x+4\cos ^{3}x}
而对应的双曲函数三倍角公式则是:
sinh
3
x
=
3
sinh
x
+
4
sinh
3
x
{\displaystyle \sinh 3x\ =3\sinh x+4\sinh ^{3}x}
cosh
3
x
=
−
3
cosh
x
+
4
cosh
3
x
{\displaystyle \cosh 3x\ =-3\cosh x+4\cosh ^{3}x}
三角函数的差角公式为:
cos
(
x
−
y
)
=
cos
x
cos
y
+
sin
x
sin
y
{\displaystyle \cos(x-y)\ =\cos x\cos y+\sin x\sin y}
而对应的双曲函数的差角公式则是:
cosh
(
x
−
y
)
=
cosh
x
cosh
y
−
sinh
x
sinh
y
{\displaystyle \cosh(x-y)\ =\cosh x\cosh y-\sinh x\sinh y}
双曲函数的導數
d
d
x
sinh
x
=
cosh
x
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sinh x=\cosh x\,}
d
d
x
cosh
x
=
sinh
x
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\cosh x=\sinh x\,}
d
d
x
tanh
x
=
1
−
tanh
2
x
=
sech
2
x
=
1
cosh
2
x
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\tanh x=1-\tanh ^{2}x={\hbox{sech}}^{2}x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}\,}
双曲函数的泰勒展開式
雙曲函數也可以以泰勒級數 展開:
sinh
x
=
x
+
x
3
3
!
+
x
5
5
!
+
x
7
7
!
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
{\displaystyle \sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}
cosh
x
=
1
+
x
2
2
!
+
x
4
4
!
+
x
6
6
!
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
(
2
n
)
!
{\displaystyle \cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}
tanh
x
=
x
−
x
3
3
+
2
x
5
15
−
17
x
7
315
+
⋯
=
∑
n
=
1
∞
2
2
n
(
2
2
n
−
1
)
B
2
n
x
2
n
−
1
(
2
n
)
!
,
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle \tanh x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}
coth
x
=
1
x
+
x
3
−
x
3
45
+
2
x
5
945
+
⋯
=
1
x
+
∑
n
=
1
∞
2
2
n
B
2
n
x
2
n
−
1
(
2
n
)
!
,
0
<
|
x
|
<
π
{\displaystyle \coth x={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi }
(罗朗级数 )
sech
x
=
1
−
x
2
2
+
5
x
4
24
−
61
x
6
720
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
E
2
n
x
2
n
(
2
n
)
!
,
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle \operatorname {sech} \,x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}
csch
x
=
1
x
−
x
6
+
7
x
3
360
−
31
x
5
15120
+
⋯
=
1
x
+
∑
n
=
1
∞
2
(
1
−
2
2
n
−
1
)
B
2
n
x
2
n
−
1
(
2
n
)
!
,
0
<
|
x
|
<
π
{\displaystyle \operatorname {csch} \,x={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi }
(罗朗级数 )
其中
B
n
{\displaystyle B_{n}\,}
是第n項伯努利數
E
n
{\displaystyle E_{n}\,}
是第n項欧拉數
双曲函数的积分
∫
sinh
c
x
d
x
=
1
c
cosh
c
x
+
C
{\displaystyle \int \sinh cx\,\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\cosh cx+C}
∫
cosh
c
x
d
x
=
1
c
sinh
c
x
+
C
{\displaystyle \int \cosh cx\,\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\sinh cx+C}
∫
tanh
c
x
d
x
=
1
c
ln
(
cosh
c
x
)
+
C
{\displaystyle \int \tanh cx\,\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\ln(\cosh cx)+C}
∫
coth
c
x
d
x
=
1
c
ln
|
sinh
c
x
|
+
C
{\displaystyle \int \coth cx\,\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\ln \left|\sinh cx\right|+C}
∫
sech
c
x
d
x
=
1
c
arctan
(
sinh
c
x
)
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {sech} cx\,\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\arctan(\sinh cx)+C}
∫
csch
c
x
d
x
=
1
c
ln
|
tanh
c
x
2
|
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {csch} cx\,\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\ln \left|\tanh {\frac {cx}{2}}\right|+C}
與指數函數的關係
從雙曲正弦和餘弦的定義,可以得出如下恆等式:
e
x
=
cosh
x
+
sinh
x
{\displaystyle e^{x}=\cosh x+\sinh x}
和
e
−
x
=
cosh
x
−
sinh
x
{\displaystyle e^{-x}=\cosh x-\sinh x}
複數的雙曲函數
因為指數函數 可以定義為任何複數 參數,也可以擴展雙曲函數的定義為複數參數。函數sinh z 和cosh z 是全純函數 。
指數函數與三角函數的關係由歐拉公式 給出:
e
i
x
=
cos
x
+
i
sin
x
e
−
i
x
=
cos
x
−
i
sin
x
{\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\;\sin x\\e^{-ix}&=\cos x-i\;\sin x\end{aligned}}}
所以:
cosh
i
x
=
1
2
(
e
i
x
+
e
−
i
x
)
=
cos
x
sinh
i
x
=
1
2
(
e
i
x
−
e
−
i
x
)
=
i
sin
x
tanh
i
x
=
i
tan
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\cosh ix&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)=\cos x\\\sinh ix&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)=i\sin x\\\tanh ix&=i\tan x\\\end{aligned}}}
cosh
(
x
+
i
y
)
=
cosh
(
x
)
cos
(
y
)
+
i
sinh
(
x
)
sin
(
y
)
sinh
(
x
+
i
y
)
=
sinh
(
x
)
cos
(
y
)
+
i
cosh
(
x
)
sin
(
y
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(x+iy)&=\cosh(x)\cos(y)+i\sinh(x)\sin(y)\\\sinh(x+iy)&=\sinh(x)\cos(y)+i\cosh(x)\sin(y)\\\end{aligned}}}
cosh
x
=
cos
i
x
sinh
x
=
−
i
sin
i
x
tanh
x
=
−
i
tan
i
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\cosh x&=\cos ix\\\sinh x&=-i\sin ix\\\tanh x&=-i\tan ix\end{aligned}}}
因此,雙曲函數是關於虛部有週期 的,週期為
2
π
i
{\displaystyle 2\pi i}
(對雙曲正切和餘切是
π
i
{\displaystyle \pi i}
).
反双曲函数
反双曲函数 是双曲函数的反函数 。它们的定义为:
arsinh
(
x
)
=
ln
(
x
+
x
2
+
1
)
arcosh
(
x
)
=
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
;
x
≥
1
artanh
(
x
)
=
1
2
ln
(
1
+
x
1
−
x
)
;
|
x
|
<
1
arcoth
(
x
)
=
1
2
ln
(
x
+
1
x
−
1
)
;
|
x
|
>
1
arsech
(
x
)
=
ln
(
1
x
+
1
−
x
2
x
)
;
0
<
x
≤
1
arcsch
(
x
)
=
ln
(
1
x
+
1
+
x
2
|
x
|
)
;
x
≠
0
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)\\\operatorname {arcosh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right);x\geq 1\\\operatorname {artanh} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right);\left|x\right|<1\\\operatorname {arcoth} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right);\left|x\right|>1\\\operatorname {arsech} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\right);0<x\leq 1\\\operatorname {arcsch} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1+x^{2}}}{\left|x\right|}}\right);x\neq 0\end{aligned}}}
参考文献
^ Eves, Howard, Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics , Courier Dover Publications: 59, 2012, ISBN 9780486132204 , We also owe to Lambert the first systematic development of the theory of hyperbolic functions and, indeed, our present notation for these functions.
^ Ratcliffe, John, Foundations of Hyperbolic Manifolds , Graduate Texts in Mathematics 149 , Springer: 99, 2006 [2014-03-27 ] , ISBN 9780387331973 , (原始内容存档 于2014-01-12), That the area of a hyperbolic triangle is proportional to its angle defect first appeared in Lambert's monograph Theorie der Parallellinien , which was published posthumously in 1786.
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参见