cis函數
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性質 | |
奇偶性 | N/A |
定義域 | (-∞,∞) |
到達域 | |
周期 | 2π |
特定值 | |
當x=0 | 1 |
當x=+∞ | N/A |
當x=-∞ | N/A |
最大值 | 複數無法比大小 |
最小值 | 複數無法比大小 |
其他性質 | |
渐近线 | N/A |
根 | N/A |
臨界點 | N/A |
拐點 | kπ |
不動點 | 0 |
k是一個整數. |
在微积分学中,cis函數又稱純虛數指數函數,是複變函數的一种,和三角函數類似,其可以使用正弦函數和餘弦函數來定義,是一種實變數複數值函數,其中為虛數單位,而cis則為cos + i sin的縮寫。
概觀
[编辑]cis函數是歐拉公式等號右側的所形的組合函數簡寫:
其中i表示虛數單位。因此
cis符號最早由威廉·哈密頓在他於1866出版的《Elements of Quaternions》中使用[4],而Irving Stringham在1893出版的《Uniplanar Algebra》 [5][6] 以及James Harkness和Frank Morley在1898出版的《Theory of Analytic Functions》中皆沿用了此一符號 [6][7] ,其利用歐拉公式將三角函數與複平面的指數函數連結起來。
cis函數主要的功能為簡化某些數學表達式,透過cis函數可以使部分數學式能更簡便地表達[4][5][8],例如傅里葉變換和哈特利變換的結合[9][10][11],以及應用在教學上時,因某些因素(如課程安排或課綱需求)因故不能使用指數來表達數學式時,cis函數就能派上用場。
性質
[编辑]cis函數的定义域是整个实数集,值域是單位複數,絕對值為1的複數。它是周期函数,其最小正周期为。其图像关于原点对称。
上述文字稱它以類似三角函數的形式來定義函數的原因是,就如同三角函數,他也算是一種比值,複數和其模的比值:
函數可視為求單位複數的函數。
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2d/Cis_function_coloring_plot_3D.png/250px-Cis_function_coloring_plot_3D.png)
微分
[编辑]積分
[编辑]其他性質
[编辑]根據歐拉公式,cis函數有以下性質:
上述性質是當與都是複數時成立。在與都是實數時,有以下不等式:
命名
[编辑]由於函數的值為「餘弦加上虛數單位倍的正弦」,取其英文縮寫cosine and imaginary unit sine,故以來表示該函數。
歐拉公式
[编辑]在數學上,為了簡化歐拉公式,因此將歐拉公式以類似三角函數的形式來定義函數,給出了cis函數的定義[1][9][8][2][14][10][11][15]:
並且一般定義域為,值域為。
當值為複數時,函數仍然是有效的,因此可利用cis函數將歐拉公式推廣到更複雜的版本。[16]
棣莫弗公式
[编辑]在數學上,為了方便起見,可以將棣莫弗公式寫成以下形式:
指數定義
[编辑]跟其他三角函數類似,可以用e的指數來表示,依照歐拉公式給出:
反函數
[编辑]的反函數:,當代入模為1的複數時,所得的值是其輻角
類似其他三角函數,的反函數也可以用自然對數來表示
當一複數經過符號函數後代入可得輻角。
恆等式
[编辑]函數的倍角公式似乎比三角函數簡單許多
半形公式
[编辑]倍角公式
[编辑]冪簡約公式
[编辑]相關函數
[编辑]餘cis函數
[编辑]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/27/Cocis_function.png/200px-Cocis_function.png)
就如同三角函數,我們可以令:,其可用於誘導公式來化簡某些特定的函數的式子。
至於指數定義,經過正弦和餘弦的指數定義得:
有恆等式:
雙曲cis函數
[编辑]cish函數()在幾何意義上與cis函數對應的雙曲函數不同。在雙曲幾何中,與歐幾里得幾何對應cis函數應為:
然而當中的若定義為負一的平方根,則其會變為[17]:
- 雙曲複數
在一般的情況下,cis函數對應的雙曲函數定義域和值域皆為實數,但若定義雙曲複數,考慮數,其中是實數,而量不是實數,但是實數。選取,得到一般複數。取的話,便得到雙曲複數。
其中j為雙曲複數。
因此雙曲cis函數得到的值為雙曲複數,相反的若將其反函數帶入模為一的雙曲複數可得其輻角。
如此一來,值域將會變成分裂四元数。
cas函數
[编辑]cas函數是一個以類似cis函數的概念定義的一個函數,為雷夫·赫特利於1942提出,其定義為,是一種實變數實值函數,而cas為「cosine-and-sine」的縮寫,其表示了實數值的赫特利變換[18][19]:
cas函數存在一些恆等式:
角和公式:
微分:
參見
[编辑]參考文獻
[编辑]- ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 Weisstein, Eric W. (编). Cis. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2016-01-09]. (原始内容存档于2016-01-27) (英语).
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[…] cos […] + i sin […] we shall occasionally abridge to the following: […] cis […]. As to the marks […], they are to be considered as chiefly available for the present exposition of the system, and as not often wanted, nor employed, in the subsequent practise thereof; and the same remark applies to the recent abrigdement cis, for cos + i sin […]
([1], [2]) - ^ 5.0 5.1 Stringham, Irving. Uniplanar Algebra, being part 1 of a propædeutic to the higher mathematical analysis 1. C. A. Mordock & Co. (printer) 1. San Francisco, US: The Berkeley Press. 1893-07-01: 71–75, 77, 79–80, 82, 84–86, 89, 91–92, 94–95, 100–102, 116, 123, 128–129, 134–135 [1891] [2016-01-18].
As an abbreviation for cos θ + i sin θ it is convenient to use cis θ, which may be read: sector of θ.
- ^ 6.0 6.1 Cajori, Florian. A History of Mathematical Notations 2 2 (3rd corrected printing of 1929 issue). Chicago, US: Open court publishing company. 1952: 133 [March 1929] [2016-01-18]. ISBN 978-1-60206-714-1. ISBN 1-60206-714-7.
Stringham denoted cos β + i sin β by "cis β", a notation also used by Harkness and Morley.
(NB. ISBN and link for reprint of 2nd edition by Cosimo, Inc., New York, US, 2013.) - ^ Harkness, James; Morley, Frank. Introduction to the Theory of Analytic Functions 1. London, UK: Macmillan and Company. 1898: 18, 22, 48, 52, 170 [2016-01-18]. ISBN 978-1-16407019-1. ISBN 1-16407019-3. (NB. ISBN for reprint by Kessinger Publishing, 2010.)
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