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拓扑比较

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拓扑学和其相关的数学领域里,拓扑比较是指在同一个给定的集合上的两个拓扑结构之间的关系。在一给定的集合上的所有拓扑会形成一个偏序集合。此一序关系可以用来做不同拓扑之间的比较。

定义

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定义 —  都是  的拓扑,若 (fine)或更(strong),或称 (coarse)或更(weak)。

进一步的,若 ,称 严格细(strictly fine),或称 严格粗(strictly coarse)。[1]

直观上, 有更多甚至是“更小”的邻域去逼近拓扑空间中的一点,所以相较之下,其拓扑结构比较“细致”。但在 意义下定义的 “极限”要求在更多的邻域都要能找到逼近点,所以其拓扑结构在收敛的意义下比较“强”。至于严格细或粗,就是额外要求

二元关系 所有的拓扑所组成的集合上定义了一个偏序集合

例子

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的拓扑里,最粗的是由空集和全集两个元素构成的:

而最细的拓扑是离散拓扑(discrete topology),也就是幂集

最粗拓扑

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定理 —  的一个子集族,则:

也是 拓扑

证明

根据定理的条件,对所有集合 有:

(a)

以下将逐条检验拓扑的定义,来验证 的确是拓扑

(1)

的确是 拓扑,那由拓扑的定义可以得到 ,这样从式(a)右方就可以得到

(2)

,从式(a)左方有:

所以有:

所以根据拓扑的定义有:

这样从式(a)右方就可以得到

(3)

,那对任意 ,从式(a)左方有:

所以有:

所以根据拓扑的定义有:

所以从式(a)右方可以得到

综上所述,来验证 的确是 拓扑

根据以上的定理,可以做以下的定义:

定义 —  的一个子集族,则:

称为包含 最粗拓扑(或最弱拓扑)。



另见

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  • 初拓扑-可使集合上的一组映射皆为连续的拓扑之中,最粗糙的拓扑。
  • 终拓扑-可使集合上的一组映射皆为连续的拓扑之中,最精细的拓扑。

参考资料

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  1. ^ Munkres, James R. Topology 2nd. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. 2000: 77–78. ISBN 0-13-181629-2.