余有限空间

若给定一个集合$X$，$Y$为$X$的子集，使得补集$X-Y$为有限集合，则称$Y$为$X$的余有限集（cofinite）。

类似地，若给定一个集合$X$，$Y$为$X$的子集，使得补集$X-Y$为可数集，则称$Y$为余可数集（cocountable）。

上述的东西都是一些很自然地推广，当我们开始从有限集合进入到无限集合时。

余有限拓扑

余有限拓扑

余有限拓扑是收集集合$X$内所有子集$Y$与集合$X$的相对补集为有限集合的集合$Y$，并将$Y$定义为开集的拓扑，这样的拓扑空间称为余有限空间。符号上，

${\mathcal {T}}=\{A\subseteq X\mid A=\varnothing {\mbox{ or }}X\setminus A{\mbox{ is finite}}\}$

性质

余有限拓扑的性质有：

• 可传子：余有限空间的子空间也是余有限的。
• 紧致、列紧
• T₁空间而非T₂空间
• Lindelöf空间
• 连通空间
• 可析空间
• 余有限拓扑是最粗糙的T₁空间：所有X 上的T₁拓朴必定包含X 的余有限拓扑。
• 若X 是有限的，则X 上的余有限拓朴与离散扑拓相同。

类似地可定义余可数空间。它必是Lindelöf空间和连通空间。

例子

EX1

我们让$X=\mathbb {N}$ ，则集合$\{3,4,5\}$,$\{2\}$,$\{1,3,5,7\}$都是有限集合，因此他们的补集$\{1,2,6,7,8,...\}$,$\{1,3,4,5,6,7,8,...\}$,$\{2,4,6,8,9,...\}$都是余有限拓朴内里。

但是并不是所有的无限集合都会在余有限拓朴中，例如我们取所有偶数的集合，他显然是自然数的子集，但是他不在余有限拓朴中，因为他的补集并不是有限的。同样的道理，所有奇数的集合也不在余有限拓朴中。

参考文献

• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr., Counterexamples in Topology Dover reprint of 1978, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1995 [1978], ISBN 978-0-486-68735-3, MR507446  (See example 18)