可测函数

可测函数（英语：measurable function）是保持可测空间结构的函数，也是勒贝格积分中主要讨论的函数。

正式定义

可测函数的定义 — 设 $(X,\Sigma _{X})$ 与 $(Y,\Sigma _{Y})$ 为可测空间。那函数 $f:X\to Y$ 对任意 $B\in \Sigma _{Y}$ 若满足：

$f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}$

则称 $f$ 为一个 $\Sigma _{X}$ - $\Sigma _{Y}$ 可测函数。

重要范例

实可测函数

取本节定义中的 $Y$ 为实数系 $\mathbb {R}$ ，然后取：

${\mathcal {I}}={\bigg \{}A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )\,{\bigg |}\,(\exists a)(\exists b)\left[\,(a,\,b\in \mathbb {R} )\wedge (A=(a,\,b))\,\right]{\bigg \}}$

${\mathcal {B}}_{\mathbb {R} }:=\sigma ({\mathcal {I}})=\bigcap {\bigg \{}\Sigma \,{\bigg |}\,(\Sigma {\text{ is a sigma algebra.}})\wedge ({\mathcal {I}}\subseteq \Sigma ){\bigg \}}$

换句话说，${\mathcal {B}}_{\mathbb {R} }$ 是由实数开区间所生成的博雷尔代数（注意到 ${\mathcal {I}}$ 本身是个拓扑基），那么这样的$\Sigma _{X}$ - ${\mathcal {B}}_{\mathbb {R} }$ 可测函数 $f$ ，通常会简称为 $\Sigma _{X}$ - 实可测函数；甚至简称为实可测函数。概率论里的随机变量就是实可测函数。

博雷尔函数

如果$(X,\tau _{X})$ 与 $(Y,\tau _{Y})$ 正好也是拓扑空间，这时取以下两个最小σ-代数：

$\sigma (\tau _{X})=\bigcap {\bigg \{}\Sigma \,{\bigg |}\,(\Sigma {\text{ is a sigma algebra.}})\wedge (\tau _{X}\subseteq \Sigma ){\bigg \}}$

$\sigma (\tau _{Y})=\bigcap {\bigg \{}\Sigma \,{\bigg |}\,(\Sigma {\text{ is a sigma algebra.}})\wedge (\tau _{Y}\subseteq \Sigma ){\bigg \}}$

换句话说，$\sigma (\tau _{X})$ 是由 $X$ 上开集所生成的博雷尔代数；$\sigma (\tau _{Y})$ 是由 $Y$ 上开集所生成的博雷尔代数，那这样 $\sigma (\tau _{X})$ - $\sigma (\tau _{X})$ 可测函数 $f$ 又称为 $\tau _{X}$ - $\tau _{Y}$ 博雷尔函数（Borel function）。

根据拓扑空间连续函数的定义， $\tau _{X}$ - $\tau _{Y}$ 博雷尔函数必定 $\tau _{X}$ - $\tau _{Y}$ 连续，但反之不成立，原因可见下面可测函数的性质的定理(2)。

可测函数的性质

定理(1) — 设 $(X,\Sigma _{X})$ 为可测空间， $Y$ 为一集合，且有函数 $f:X\to Y$ 。那

$\Sigma =\left\{B\in {\mathcal {P}}(Y)\,{\big |}\,f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}\right\}$

为 $Y$ 的σ代数。

证明

以下将逐条检验 $\Sigma$ 是否符合σ代数的定义 (1) $Y\in \Sigma$ 因为： $f^{-1}(Y)=\left\{x\in X\,|\,(\exists y\in Y)\left[f(x)=y\right]\right\}=X\in \Sigma _{X}$ 所以 $Y\in \Sigma$。 (2) $B\in \Sigma$ ，则 $Y-B\in \Sigma$ 若 $B\in \Sigma$ ，因为： $f^{-1}(Y-B)={\big \{}x\in X\,|\,(\exists y)\left\{(y\in Y)\wedge (y\notin B)\wedge [f(x)=y]\right\}{\big \}}=X-f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}$ 所以 $Y-B\in \Sigma$ 。 (3)可数个并集仍在 $\Sigma$ 中 若 $\{B_{1},\,B_{2},\,\dots \}\subseteq \Sigma$ ，那因为： $f^{-1}\left(\bigcup \{B_{1},\,B_{2},\,\dots \}\right)={\big \{}x\in X\,{\big |}\,(\exists y)\left\{[f(x)=y]\wedge (\exists i\in N)(y\in B_{i})\right\}{\big \}}=\bigcup \{f^{-1}(B_{1}),\,f^{-1}(B_{2}),\,\dots \}\in \Sigma _{X}$ 所以 $\bigcup \{B_{1},\,B_{2},\,\dots \}\in \Sigma$ 。 综上所述， $\Sigma$ 的确是$Y$ 的σ代数。$\Box$

定理(2) — $(X,\Sigma _{X})$ 为可测空间 ，${\mathcal {F}}_{Y}\subseteq {\mathcal {P}}(Y)$ 是集合 $Y$ 的一个子集族 ，那对函数 $f:X\to Y$ 来说，以下两叙述等价：

1. 对所有 $B\in {\mathcal {F}}_{Y}$ 有 $f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}$
2. $f$ 是 $\Sigma _{X}$ - $\sigma ({\mathcal {F}}_{Y})$ 可测函数

证明

(1 $\Rightarrow$ 2) 若对所有 $B\in {\mathcal {F}}_{Y}$ 都有： $f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}$ 换句话说： ${\mathcal {F}}_{Y}\subseteq \left\{B\in {\mathcal {P}}(Y)\,{\big |}\,f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}\right\}$ 那根据本节之定理(1)和最小σ代数 $\sigma ({\mathcal {F}}_{Y})$ 的定义有： $\sigma ({\mathcal {F}}_{Y})\subseteq \left\{B\in {\mathcal {P}}(Y)\,{\big |}\,f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}\right\}$ 换句话说，只要 $B\in \sigma ({\mathcal {F}}_{Y})$ 就有 $f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}$，故 $f$ 是 $\Sigma _{X}$ - $\sigma ({\mathcal {F}}_{Y})$ 可测函数。$\Box$ (2 $\Rightarrow$ 1) 若对所有$B\in \sigma ({\mathcal {F}}_{Y})$ 都有 $f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}$，换句话说： ${\mathcal {F}}_{Y}\subseteq \sigma ({\mathcal {F}}_{Y})\subseteq \left\{B\in {\mathcal {P}}(Y)\,{\big |}\,f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}\right\}$ 这样的话，的确可以从 $B\in {\mathcal {F}}_{Y}$ 推出 $f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}$ 。$\Box$

定理(3) — 设 $(X,\Sigma _{X})$为可测空间，$(Y,\tau _{Y})$ 与 $(Z,\tau _{Z})$ 为拓扑空间，若：

• $f:X\to Y$ 为 $\Sigma _{X}$- $\sigma (\tau _{Y})$可测函数
• $g:Y\to Z$ 为 $\tau _{Y}$ - $\tau _{Z}$ 连续函数

则复合函数 $g\circ f$ 为 $\Sigma _{X}$- $\sigma (\tau _{Z})$可测函数。

证明
根据定理(2)， $g\circ f$ 为 $\Sigma _{X}$- $\sigma (\tau _{Z})$可测函数等价于： “对所有的 $C\in \tau _{Z}$ ， ${(g\circ f)}^{-1}(C)=f^{-1}[g^{-1}(C)]\in \Sigma _{X}$” 但因为$g$ 为 $\tau _{Y}$ - $\tau _{Z}$ 连续函数，故： “对所有的 $C\in \tau _{Z}$ ， $g^{-1}(C)\in \tau _{Y}\subseteq \sigma (\tau _{Y})$” 但 $f$ 又为 $\Sigma _{X}$- $\sigma (\tau _{Y})$可测函数，故可以得到 $f^{-1}[g^{-1}(C)]\in \Sigma _{X}$ ，所以本定理得证。$\Box$

• 两个可测的实函数的和与积也是可测的。
• 可数个实可测函数的最小上界也是可测的。
• 可测函数的逐点极限是可测的。（连续函数的对应命题需要比逐点收敛更强的条件，例如一致收敛。）
• 卢辛定理

勒贝格可测函数

勒贝格可测函数是一个实函数f : R → R，使得对于每一个实数a，集合

$\{x\in \mathbb {R} :f(x)>a\}$

都是勒贝格可测的集合。勒贝格可测函数的一个有用的特征，是f是可测的当且仅当mid{-g,f,g}对于所有非负的勒贝格可积函数g都是可积的。

不可测函数

不是所有的函数都是可测的。例如，如果$A$是实数轴$\mathbb {R}$的一个不可测子集，那么它的指示函数$1_{A}(x)$是不可测的。

参见

• 可测函数的向量空间：$L^{p}$空间
• 保测动态系统