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加托導數

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數學上,加托導數(英文: Gâteaux derivative)是微分學中的方向導數的概念的推廣。它以勒內·加托命名,他是一位法國數學家,年青時便死於第一次世界大戰。它定義於局部凸拓撲向量空間上,可以和巴拿赫空間上的弗雷歇導數作對比。二者都經常用於形式化泛函導數的概念,常見於變分法物理學,特別是量子場論。和其他形式的導數不同,加托導數是非線性的。

定義

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假設 局部凸拓撲向量空間,(例如巴拿赫空間), 是開集合(open set),且 在點 沿着 方向的加托偏微分(Gâteaux differential) 定義為

如果極限存在。固定 對於所有 都存在,則稱 是加托可微(Gâteaux differentiable )。若 是加托可微,稱 為在 的加托導數。

是在 連續可微的

連續的。

屬性

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若加托導數存在,則其為唯一。

對於每個,加托導數是一個算子。 該算子是齊次的,使得

,但是它通常不是可加的,並且,因此而不總是線性的,不像Fréchet導數

例子

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為一個在歐幾里得空間 勒貝格可測集 上的平方可積函數希爾伯特空間,也就是說 是勒貝格可測集 。泛函

給出,其中 是一個定義在實數上的可微值函數且 為定義在 的實數值函數,則加托導數為

這符號代表 .

更詳細的說:

(並假設所有積分有定義),得到加托導數

也就是,內積

參看

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參考

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