加托導數

數學上，加托導數(英文: Gâteaux derivative)是微分學中的方向導數的概念的推廣。它以勒內·加托命名，他是一位法國數學家，年青時便死於第一次世界大戰。它定義於局部凸的拓撲向量空間上，可以和巴拿赫空間上的弗雷歇導數作對比。二者都經常用於形式化泛函導數的概念，常見於變分法和物理學，特別是量子場論。和其他形式的導數不同，加托導數是非線性的。

定義

假設 $X$ 和 $Y$ 是局部凸拓撲向量空間，（例如巴拿赫空間），$U\subset X$ 是開集合(open set)，且 $F:X\rightarrow Y$。 $F$ 在點 $u\in U$ 沿着 $\psi \in X$ 方向的加托偏微分(Gâteaux differential) $dF(u,\psi )$ 定義為

$dF(u,\psi )=\lim _{\tau \rightarrow 0}{\frac {F(u+\tau \psi )-F(u)}{\tau }}=\left.{\frac {d}{d\tau }}F(u+\tau \psi )\right|_{\tau =0}$

如果極限存在。固定 $u$ 若 $dF(u,\psi )$ 對於所有 $\psi \in X$ 都存在，則稱 $F$ 在 $u\in U$ 是加托可微(Gâteaux differentiable )。若 $F$ 在 $u$ 是加托可微，稱 $dF(u,\cdot )$ 為在 $u$ 的加托導數。

稱 $F$ 是在 $U$ 中連續可微的若

$dF:U\times X\rightarrow Y$

是連續的。

屬性

若加托導數存在，則其為唯一。

對於每個$u\in U$，加托導數是一個算子$dF:X\rightarrow Y.$。 該算子是齊次的，使得

$dF(u,\alpha \psi )=\alpha dF(u,\psi )\,$，但是它通常不是可加的，並且，因此而不總是線性的，不像Fréchet導數。

例子

令 $X$ 為一個在歐幾里得空間 $\mathbb {R} ^{n}$ 勒貝格可測集 $\Omega$ 上的平方可積函數的希爾伯特空間，也就是說 $X=\{u:\Omega \mapsto \mathbb {R} \mid \int _{\Omega }u^{2}<\infty ,\,\,\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}$ 是勒貝格可測集 $\}$。泛函 $E:X\rightarrow \mathbb {R}$ 由

$E(u)=\int _{\Omega }F\left(u(x)\right)dx$

給出，其中 $F$ 是一個定義在實數上的可微實值函數且 $F'=f\,$ 而 $u$ 為定義在 $\Omega$ 的實數值函數，則加托導數為

$dE(u,\psi )=(f(u),\psi ),\quad \quad (f(u),\psi )$ 這符號代表 $\int _{\Omega }f(u(x))\psi (x)\,dx\,$.

更詳細的說：

${\frac {E(u+\tau \psi )-E(u)}{\tau }}={\frac {1}{\tau }}\left(\int _{\Omega }F(u+\tau \psi )dx-\int _{\Omega }F(u)dx\right)$

$\quad \quad ={\frac {1}{\tau }}\left(\int _{\Omega }\int _{0}^{1}{\frac {d}{ds}}F(u+s\tau \psi )\,ds\,dx\right)$

$\quad \quad =\int _{\Omega }\int _{0}^{1}f(u+s\tau \psi )\psi \,ds\,dx.$

令$\tau \rightarrow 0$ (並假設所有積分有定義)，得到加托導數

$dE(u,\psi )=\int _{\Omega }f(u(x))\psi (x)\,dx,$

也就是，內積$(f(u),\psi ).\,$

參看

• 導數 (推廣)

參考

• R Gâteaux. Sur les fonctionnelles continues et les fonctionnelles analytiques. Comptes rendus de l'académie des sciences, Paris, Vol. 157 (1913): 325–327. [2006-07-30]. （原始內容存檔於2016-12-18） （法語）.