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加托导数

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数学上,加托导数(英文: Gâteaux derivative)是微分学中的方向导数的概念的推广。它以勒内·加托命名,他是一位法国数学家,年青时便死于第一次世界大战。它定义于局部凸拓扑向量空间上,可以和巴拿赫空间上的弗雷歇导数作对比。二者都经常用于形式化泛函导数的概念,常见于变分法物理学,特别是量子场论。和其他形式的导数不同,加托导数是非线性的。

定义

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假设 局部凸拓扑向量空间,(例如巴拿赫空间), 是开集合(open set),且 在点 沿着 方向的加托偏微分(Gâteaux differential) 定义为

如果极限存在。固定 对于所有 都存在,则称 是加托可微(Gâteaux differentiable )。若 是加托可微,称 为在 的加托导数。

是在 连续可微的

连续的。

属性

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若加托导数存在,则其为唯一。

对于每个,加托导数是一个算子。 该算子是齐次的,使得

,但是它通常不是可加的,并且,因此而不总是线性的,不像Fréchet导数

例子

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为一个在欧几里得空间 勒贝格可测集 上的平方可积函数希尔伯特空间,也就是说 是勒贝格可测集 。泛函

给出,其中 是一个定义在实数上的可微值函数且 为定义在 的实数值函数,则加托导数为

这符号代表 .

更详细的说:

(并假设所有积分有定义),得到加托导数

也就是,内积

参看

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参考

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