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正規矩陣

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線性代數
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數學中,正規矩陣(英語:normal matrix是與自己的共軛轉置滿足交換律復係數方塊矩陣,也就是說,滿足

其中共軛轉置

如果是實係數矩陣,則,從而條件簡化為其中轉置矩陣

任何一個正規矩陣,都是某個正規算子在一組標準正交基下的矩陣;反之,任一正規算子在一組標準正交基下的矩陣都為正規矩陣。

矩陣的正規性是檢驗矩陣是否可對角化的一個簡便方法:任意正規矩陣都可在經過一個酉變換後變為對角矩陣,反過來所有可在經過一個酉變換後變為對角矩陣的矩陣都是正規矩陣。

特例

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在復係數矩陣中,所有的酉矩陣埃爾米特矩陣斜埃爾米特矩陣都是正規的。同理,在實係數矩陣中,所有的正交矩陣對稱矩陣斜對稱矩陣都是正規的。

但是正規矩陣並非只包括上述幾類,例如下面的

是正規矩陣,因為:

.

矩陣既不是酉矩陣,也不是埃爾米特矩陣斜埃爾米特矩陣

兩個正規矩陣的乘積也不一定是正規矩陣。

如果同時既是三角矩陣又是正規矩陣,那麼對角矩陣,這點可以由比較的相應係數得到。

性質

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正規矩陣的概念十分重要,因為它們正是能使譜定理成立的對象:矩陣正規當且僅當它可以被寫成的形式。其中的為對角矩陣,酉矩陣

矩陣Λ對角線上的元素是A特徵值,而組成U的列向量則是A相應的特徵向量

譜定理的一種陳述,是說正規矩陣正好是能在的某個正交基下變成對角矩陣的那些矩陣(這裡將矩陣同於上的線性變換,並使用常用的內積)。另外一種說法為:矩陣是正規的當且僅當其特徵向量能張成整個,並且兩兩正交

一般來說,兩個正規矩陣AB的乘積不是正規矩陣,但是,如果AB兩者可以交換,那麼它們的乘積與和就仍然是正規的。這是因為它們可以「同時」(通過同一個相似變換矩陣)被對角化:

於是,都是正規矩陣。

任何方陣A都可以通過極分解寫成A = UP。其中U酉矩陣P是某個半正定矩陣。如果A可逆,那麼UP都是唯一的。而如果A是正規矩陣,那麼UP = PU(其逆命題只在有限維的情況下成立)。

推廣

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正規矩陣的概念可以被推廣為無窮維希爾伯特空間中的正規算子C*-代數中的正規元素。

類比

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不同種類的正規矩陣可以與各種複數建立對應的類比關係。比如:

參見

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參考資料

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外部連結

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