在機率論中,朗道分佈(英語:Landau distribution)[1]是因物理學家列夫·朗道而得名的一種機率分佈。由於它所具有的「長尾」現象,這種分佈的各階矩(如數學期望值與方差)都因發散而無法定義。這種分佈是穩定分佈的一個特例。
標準朗道分佈的機率密度函數由以下複積分式表示,
![{\displaystyle p(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }\!e^{s\log s+xs}\,ds,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47b51af0fb929a3ab5aef725484822e76c3b0593)
其中c為任意正實數,log 為自然對數。可以證明,上式結果與c的取值無關。在複數平面上做圍道積分,可得到便於計算的實積分式,
![{\displaystyle p(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\!e^{-t\log t-xt}\sin(\pi t)\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b70fc805be98dc386ad07285d08b41ce1b28104)
上式即
的標準朗道分佈機率密度函數。通過將標準朗道分佈擴展到一個位置-尺度分佈族,就可以獲得完整的朗道分佈族
![{\displaystyle p(x;\mu ,c)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{e^{-ct}\cos \left((x-\mu )t+{\frac {2ct}{\pi }}\log {t}\right)\,dt}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9681673a9f732d762ad6a1a54a643cc397995b5c)
其特徵函數可表示如下,
![{\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=\exp \!\left(i\mu t-c|t|-{\frac {2ict}{\pi }}\log |t|\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04e3daa1749d3fcacd8f6d9f20c9689d1935039b)
兩個實參數的取值範圍
,
,調整
分別實現朗道分佈的平移和縮放[2]。
朗道分佈在
的近似
從特徵函數出發可以推導出:
- 平移:若
則
。
- 縮放:若
則
。
- 可加性:若
則
。
以上三條性質保證了朗道分佈是一種穩定分佈,它的穩定參數和偏度參數
。[3]
當
時,朗道分佈可以近似表示為[4][5]
![{\displaystyle p(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left\{-{\frac {1}{2}}(x+e^{-x})\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ad7d39aa39d8e50d91f5d3cf80b7f8cc812596b)