正則空間

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拓撲學和其數學上相關分支領域中,正則空間T3 空間是特定種類的拓撲空間。這兩個條件都是分離公理的個例。

定義[編輯]

表示為左側的一個圓點的點 x,和表示為右側的一個封閉圓圈的閉集 F,被表示為更大的開放圓圈的它們的鄰域 U 和 V 分離。點 x 在開放圓圈 U 中有很多空間用來抖動,而閉集 F 在開放圓圈 V 中有很多空間用來抖動,但 U 和 V 仍不能相互觸及。

假定 X 是拓撲空間。

X正則空間若且唯若給定任何閉集 F 和不屬於 F 的任何 x,存在 x 的鄰域 UF 的鄰域 V 它們是不相交的。用「空想家」的術語來說,這個條件聲稱 xF 可以由鄰域分離

XT3 空間,若且唯若它是正則空間和豪斯多夫空間二者。

注意某些數學文獻對術語「正則」和「T3」使用了不同的定義。我們這裏給出的定義只是今天最常用的;但是某些作者切換了這兩個術語的意義,或把它們用做唯一一個條件的兩個同義詞。在維基百科中,我們直率的使用術語「正則」,而通常稱呼正則豪斯多夫空間來替代不太明晰的「T3」。在其他文獻中,你要注意作者使用了哪種定義。(短語「正則豪斯多夫」是無歧義的)。更多詳情請參見分離公理的歷史

與其他分離公理的聯繫[編輯]

正則空間必然也是預正則的。因為豪斯多夫空間同於預正則 T0 空間,也是 T0 的正則空間必定是豪斯多夫的(並因此是 T3)。事實上,正則豪斯多夫空間滿足稍微強些的條件 T。(但是,這種空間不必須是完全豪斯多夫的。)因此,T3 的定義可以引用 T0T1 或 T 來替代 T2 (豪斯多夫性);在正則空間的上下文它們都是等價的。

更理論性的說,正則性條件和 T3 性條件是靠柯爾莫果洛夫商關聯起來的。一個空間是正則的,若且唯若它的柯爾莫果洛夫商是 T3 的;並且如上所述,一個空間是 T3 的,若且唯若它是正則的和 T0 的二者。因此在實踐中可遇到的正則空間通常被假定是 T3 的,通過把它替代為它的柯爾莫果洛夫商。

有很多拓撲空間的結果都正則空間和豪斯多夫空間二者都成立。多數時候,這些結果也對預正則空間成立;它們對正則空間和豪斯多夫空間分別列出,因為預正則空間的想法提出的更晚。在另一方面,對正則性為真的那些結果一般不適用於非正則豪斯多夫空間。

有很多情況下其他拓撲空間條件(比如正規性仿緊緻性局部緊緻性)也蘊涵正則性,如果滿足了更弱的分離公理比如預正則性。這種條件經常有兩個版本: 正則版本和豪斯多夫版本。儘管豪斯多夫空間一般不是正則的,局部緊緻的豪斯多夫空間是正則的,因為任何豪斯多夫空間都是預正則的。因此從特定角度看,正則性實際上不是要點,我們可以施加更弱的條件來獲得同樣的結果。但是,定義通常仍用正則性來措辭,因為這個條件比任何更弱條件都要周知。

數學分析中研究的多數拓撲空間是正則的;事實上它們通常是完全正則空間,這是更強些的條件。正則空間還對比於正規空間

例子和反例[編輯]

如上所述,任何完全正則空間都是正則的,任何不是豪斯多夫(因此不是預正則)的 T0 空間不能是正則的。在數學中多數正則和非正則空間例子可以在這兩個文章中找到。在另一方面,空間可以是正則而非完全正則的,或預正則而非正則的,它們通常作為反例來提供猜想,展示可能的定理的邊界。當然,可以輕易的找到非 T0 因而非豪斯多夫的空間例子,比如不可分空間,但是,這種離子提供的是對T0 公理的洞察而非正則性。不是完全正則的正則空間的例子是吉洪諾夫螺旋

因此,一般不研究正則空間,因為在數學中研究的有價值空間是正則的就滿足某個更強的條件。實際上,研究它們來找到如下面的性質和定理,典型的在分析中實際應用於完全正則空間。

存在非正則的豪斯多夫空間。例子是集合 R 帶有從形如 U - C 的集合生成的拓撲,這裏的 U 是平常意義上的開集,而 CU 的任何可數子集。

基本性質[編輯]

假定 X 是正則空間。則給定任何點 xx 的鄰域 G,有一個是 G 的子集的 x 的閉鄰域 E。用空想家的術語來說,x 的閉鄰域形成了在 x 上的局部基。事實上這個性質刻畫了正則空間;如果在拓撲空間中每個點的閉鄰域形成在這個點上的局部基,則這個空間必定是正則的。

選取這些閉鄰域的內部,我們看到正則開集形成了給正則空間 X 的開集的。這個性質實際上比正則性要弱;正則開集形成基的拓撲空間是半正則空間

擴張自連續性[編輯]

假定 A 是拓撲空間 X 中集合而 f 是從 A 到某個空間 Y連續函數。那麼只要在 A 中的濾子收斂於在 X 中的點(就是 x = limn an),則 f(an) 收斂到 Y中點 y。通過設置 f(x) = y,我們可以接着擴張 f 的定義域為 A閉包,而我們也希望這個擴張是連續的。

如果 Y 是正則空間,則這總是可能的。如果 Y 是正則豪斯多夫空間,則這種連續擴張不只存在而且是唯一性的。注意,如果 A稠密集,則 f 將被擴張到全部 X。這叫做「擴張自連續性」,因為 f 的擴張是通過要求它是連續的而定義的(在豪斯多夫情況下還是唯一性的)。

參見不連續性的分類