連通空間
外觀
在拓撲學及相關的數學領域中,連通空間是指不能表示為兩個或多個不相交的非空開集的併集的拓撲空間。
定義
[編輯]拓撲空間X稱為是連通的。當且僅當以下敘述之一成立:
一個拓撲空間被稱為是不連通的,若它不是連通的。
連通性是拓撲空間的一個拓撲不變性質,即兩個拓撲空間之間若存在一個同胚映射,其中一個空間是連通的,則另一個空間也是連通的。
一些數學家承認空集(按照它獨有的拓撲)是連通空間,不過也有數學家不承認這一點。
連通單元
[編輯]- 連通子集
- 拓撲空間X的子集A稱為連通的,當且僅當A誘導的子拓撲空間是連通的。
- 連通單元
- 拓撲空間的極大連通子集稱作連通單元。
- 完全不連通空間
- 拓撲空間X稱為完全不連通空間,當且僅當X的連通單元都是單元素集合。
每個空間都能表成它的連通單元的不相交併集。
連通單元必然是閉的,在夠好的空間(如流形、代數簇)上也同時是開的,但並非總是如此。
其它連通性定義
[編輯]路徑連通,弧連通
[編輯]路徑連通空間必定是連通空間,反之不一定。
路徑連通的郝斯多夫空間必為弧連通空間。
局部連通
[編輯]拓撲空間X稱為局部連通的,當且僅當以下敘述之一成立:
- 空間中的任一點都存在連通的鄰域(即該鄰域是X的連通子集)。
- 空間的拓撲基完全由連通的集合組成。
例子
[編輯]參考文獻
[編輯]- Munkres, James R. Topology, Second Edition. Prentice Hall. 2000. ISBN 0-13-181629-2.
- 埃里克·韋斯坦因. Connected Set. MathWorld.
- V. I. Malykhin, Connected space, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- Muscat, J; Buhagiar, D. Connective Spaces (PDF). Mem. Fac. Sci. Eng. Shimane Univ., Series B: Math. Sc. 2006, 39: 1–13 [2011-09-06]. (原始內容 (PDF)存檔於2016-03-04)..
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