反正切 性质 奇偶性 奇函数 定义域 实数 集 到达域
(
−
π
2
,
π
2
)
{\displaystyle (-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})}
周期 N/A 特定值 当x=0 0 当x=+∞
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
当x=-∞
−
π
2
{\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}}
其他性质 渐近线
y
=
±
π
2
{\displaystyle y=\pm {\frac {\pi }{2}}}
y =±90° 根 0 拐点 原点 不动点 0
反正切 （英语：arctangent ，记为
arctan
{\displaystyle \arctan }
arctg 或
tan
−
1
{\displaystyle \tan ^{-1}}
[ 1] 反三角函数 ，是利用已知直角三角形 的对边和邻边这两条直角边的比值 求出其夹角大小的函数，是高等数学中的一种基本特殊函数 。在三角学 中，反正切被定义为一个角度 ，也就是正切 值的反函数 ，由于正切函数在实数 上不具有一一对应的关系，所以不存在反函数，但我们可以限制其定义域，因此，反正切是单射 和满射 也是可逆 的，但不同于反正弦 和反余弦 ，由于限制正切函数 的定义域在
(
−
π
2
,
π
2
)
{\displaystyle (-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})}
值域 是全体实数，因此可得到的反函数定义域也是全体实数，而不必再进一步去限制定义域。
由于反正切函数的定义为求已知对边和邻边的角度值，刚好可以视为直角坐标系 的x座标与y座标，根据斜率 的定义，反正切函数可以用来求出平面上已知斜率的直线与座标轴 的夹角 。
反正切函数经常记为
tan
−
1
{\displaystyle \tan ^{-1}}
arctan
{\displaystyle \arctan }
[ 2] ISO 31 -11标准应将反正切函数记为
arctan
{\displaystyle \arctan }
tan
−
1
{\displaystyle \tan ^{-1}}
1
tan
{\displaystyle {\frac {1}{\tan }}}
1
tan
{\displaystyle {\frac {1}{\tan }}}
余切函数 。
原始的定义是将正切函数 限制在
(
−
π
2
,
π
2
)
{\displaystyle (-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})}
反函数 复变分析 中，反正切是这样定义 的：
arctan
x
=
i
2
ln
(
i
+
x
i
−
x
)
{\displaystyle \arctan x={\frac {\mathrm {i} }{2}}\ln \left({\frac {{\mathrm {i} }+x}{{\mathrm {i} }-x}}\right)\,}
这个动作使反正切被推广到复数 。
拓展到复数的反正切函数
在直角坐标系 中，反正切函数可以视为已知平面 上直线 斜率 的倾角
反正切函数可利用泰勒展开式来求得级数的定义
反正切函数的泰勒展开式为：
∀
x
∈
[
−
1
,
1
]
a
r
c
t
a
n
(
x
)
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
x
2
k
+
1
2
k
+
1
=
x
−
1
3
x
3
+
1
5
x
5
−
1
7
x
7
+
⋯
{\displaystyle \forall x\in [-1,1]\quad \mathrm {arctan} (x)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {1}{5}}x^{5}-{\frac {1}{7}}x^{7}+\cdots }
当
|
x
|
≤
1
{\displaystyle \left|x\right|\leq 1}
x
≠
±
i
{\displaystyle x\neq \pm i}
圆周率 的近似值，最简单的公式是
x
=
1
{\displaystyle x=1}
莱布尼茨公式 [ 3]
π
4
=
1
−
1
3
+
1
5
−
1
7
+
−
…
{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+-\ldots }
更精确的写法是梅钦类公式
π
4
=
4
a
r
c
t
a
n
1
5
−
a
r
c
t
a
n
1
239
{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\mathrm {arctan} {\frac {1}{5}}-\mathrm {arctan} {\frac {1}{239}}}
由于反正切函数是一个奇函数 ，因此满足下面等式：
arctan
(
−
x
)
=
−
arctan
x
{\displaystyle \arctan(-x)=-\arctan x\!}
反正切函数的微分导数为：
a
r
c
t
a
n
′
x
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle {\rm {arctan}}'x={\frac {1}{1+x^{2}}}}
a
r
c
t
a
n
″
x
=
−
2
x
(
1
+
x
2
)
2
{\displaystyle {\rm {arctan}}''x={\frac {-2x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}\,}}}
a
r
c
t
a
n
‴
x
=
6
x
2
−
2
(
1
+
x
2
)
3
{\displaystyle {\rm {arctan}}'''x={\frac {\;6x^{2}-2\;}{\left(1+x^{2}\right)^{3}\,}}}
a
r
c
t
a
n
⁗
x
=
−
24
x
3
+
24
x
(
1
+
x
2
)
4
{\displaystyle {\rm {arctan}}''''x={\frac {\;-24x^{3}+24x\;}{\;\left(1+x^{2}\right)^{4}\,}}}
⋯
.
{\displaystyle \cdots \qquad .}
arctan
x
±
arctan
y
=
arctan
x
±
y
1
∓
x
y
,
x
y
<
1
{\displaystyle \arctan \,x\pm \arctan \,y=\arctan \,{\frac {x\pm y}{1\mp xy}},xy<1}
x
y
>
−
1
{\displaystyle xy>-1}
arctan
x
±
arctan
y
=
π
±
arctan
x
±
y
1
∓
x
y
,
x
>
0
,
x
y
>
1
{\displaystyle \arctan \,x\pm \arctan \,y=\pi \pm \arctan \,{\frac {x\pm y}{1\mp xy}},x>0,xy>1}
x
>
0
,
x
y
<
−
1
{\displaystyle x>0,xy<-1}
arctan
x
±
arctan
y
=
−
π
±
arctan
x
±
y
1
∓
x
y
,
x
<
0
,
x
y
>
1
{\displaystyle \arctan \,x\pm \arctan \,y=-\pi \pm \arctan \,{\frac {x\pm y}{1\mp xy}},x<0,xy>1}
x
<
0
,
x
y
<
−
1
{\displaystyle x<0,xy<-1}
在反三角函数 中，atan2是反正切函数的一个变种，有两个变数，主要是提供给计算机编程语言一个简便的角度计算方式，其定义为：
atan2
(
y
,
x
)
=
{
arctan
(
y
x
)
x
>
0
arctan
(
y
x
)
+
π
y
≥
0
,
x
<
0
arctan
(
y
x
)
−
π
y
<
0
,
x
<
0
+
π
2
y
>
0
,
x
=
0
−
π
2
y
<
0
,
x
=
0
undefined
y
=
0
,
x
=
0
{\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&\qquad x>0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &\qquad y\geq 0,x<0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &\qquad y<0,x<0\\+{\frac {\pi }{2}}&\qquad y>0,x=0\\-{\frac {\pi }{2}}&\qquad y<0,x=0\\{\text{undefined}}&\qquad y=0,x=0\end{cases}}}
^ Weisstein, Eric W. "Inverse Cotangent." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. InverseCotangent （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ）
^ 《 Exponentielle & logarithme 》, § Fonctions circulaires réciproques, Dictionnaire de mathématiques – algèbre, analyse, géométrie , Encyclopædia Universalis.
^ Connue des anglophones sous le nom de "formule de 詹姆斯·格雷果里 " ; cette formule avait en fait été déjà découverte parMadhava of Sangamagrama
![{\displaystyle \forall x\in [-1,1]\quad \mathrm {arctan} (x)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {1}{5}}x^{5}-{\frac {1}{7}}x^{7}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f3385465219696eff1fb4e5a231e063e94fcabe)
