幾何布朗運動 - 維基百科，自由的百科全書

幾何布朗運動（英語：geometric Brownian motion, GBM），也叫做指數布朗運動（英語：exponential Brownian motion）是連續時間情況下的隨機過程，其中隨機變量的對數遵循布朗運動，^[1]也稱維納過程。幾何布朗運動在金融數學中有所應用，用來在布萊克-休斯定價模型中模仿股票價格。

技術定義[編輯]

A 隨機過程S_t在滿足以下隨機微分方程 (SDE)的情況下被認為遵循幾何布朗運動：

dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t}

這裏 $W_{t}$ 是一個維納過程,或者說是布朗運動，而 $\mu$ ('百分比drift') 和 $\sigma$ ('百分比volatility')則是常數。

幾何布朗運動的特性[編輯]

給定初始值 S₀，根據伊藤積分，上面的隨機微分方程有如下解:

S_{t}=S_{0}\exp \left(\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma W_{t}\right),

對於任意值 t，這是一個對數正態分佈隨機變量，其期望值和方差分別是^[2]

\mathbb {E} (S_{t})=S_{0}e^{\mu t},

\operatorname {Var} (S_{t})=S_{0}^{2}e^{2\mu t}\left(e^{\sigma ^{2}t}-1\right),

也就是說S_t的概率密度函數是:

f_{S_{t}}(s;\mu ,\sigma ,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,{\frac {1}{s\sigma {\sqrt {t}}}}\,\exp \left(-{\frac {\left(\ln s-\ln S_{0}-\left(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)t\right)^{2}}{2\sigma ^{2}t}}\right).

根據伊藤引理，這個解是正確的。

比如，考慮隨機過程 log(S_t). 這是一個有趣的過程，因為dlog(S_t)可以看成是股票在dt時間內的對數回報率。對f(S) = log(S)應用伊藤引理，得到

{\begin{alignedat}{2}d\log(S)&=f^{\prime }(S)\,dS+{\frac {1}{2}}f^{\prime \prime }(S)S^{2}\sigma ^{2}\,dt\\&={\frac {1}{S}}\left(\sigma S\,dW_{t}+\mu S\,dt\right)-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\,dt\\&=\sigma \,dW_{t}+(\mu -\sigma ^{2}/2)\,dt.\end{alignedat}}

於是 $\mathbb {E} \log(S_{t})=\log(S_{0})+(\mu -\sigma ^{2}/2)t$ .

這個結果還有另一種方法獲得：applying the logarithm to the explicit solution of GBM:

{\begin{alignedat}{2}\log(S_{t})&=\log \left(S_{0}\exp \left(\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma W_{t}\right)\right)\\&=\log(S_{0})+\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma W_{t}.\end{alignedat}}

取期望值，獲得和上面同樣的結果: $\mathbb {E} \log(S_{t})=\log(S_{0})+(\mu -\sigma ^{2}/2)t$ .

在金融中的應用[編輯]

幾何布朗運動在布萊克-休斯定價模型被用來定性股票價格，因而也是最常用的描述股票價格的模型。^[3]

使用幾何布朗運動來描述股票價格的理由:

幾何布朗運動的期望值與隨機過程的價格（股票價格）是獨立的, 這與我們對現實市場的期望值是相符的。^[3]
幾何布朗運動過程只考慮為正值的價格, 就像真實的股票價格。
幾何布朗運動過程與我們在股票市場觀察到的價格軌跡呈現了同樣的「roughness」。
幾何布朗運動過程計算相對簡單。.

然而，幾何布朗運動並不完全現實，尤其存在以下缺陷:

在真實股票價格中波動隨時間變化 (possibly stochastically), 但是在幾何布朗運動中, 波動是不隨時間變化的。
在真實股票價格中, 收益通常不服從正態分佈 (真實股票收益有更高的肥尾 ('fatter tails'), 代表了有可能形成更大的價格波動).^[4]

幾何布朗運動推廣[編輯]

參見[編輯]

Brownian surface

參考資料[編輯]

^ Ross, Sheldon M. 10.3.2. Introduction to Probability Models. 2007.
^ Oksendal, Bernt K., 随机Differential Equations: An Introduction with Applications, Springer: 326, 2002, ISBN 3-540-63720-6
^ ^3.0 ^3.1 Hull, John. 12.3. Options, Futures, and other Derivatives 7. 2009.
^ Wilmott, Paul. 16.4. Paul Wilmott on Quantitative Finance 2. 2006.

連結[編輯]

幾何布朗運動 models for stock movement except in rare events.

閱論編概率論：隨機過程

離散時間（英語：Discrete-time stochastic process）	伯努利過程分支過程中餐館過程高爾頓-沃特森過程（英語：Galton–Watson process）獨立同分佈馬可夫鏈莫蘭過程（英語：Moran process）隨機漫步循環擦除隨機遊走（英語：Loop-erased）自避行走

連續時間	貝塞爾過程出生-死亡過程維納過程/布朗運動布朗橋 Excursion（英語：Brownian excursion）分數布朗運動（英語：Fractional Brownian motion）幾何布朗運動 Meander（英語：Brownian meander）柯西過程（英語：Cauchy process） Contact process（英語：Contact process (mathematics)） Cox process（英語：科克斯过程） Diffusion process（英語：Diffusion process） Empirical process（英語：Empirical process）費勒過程（英語：Feller process）弗萊明-維奧過程（英語：Fleming–Viot process）伽馬過程（英語：Gamma process）亨特過程（英語：Hunt process） Interacting particle system（英語：Interacting particle system）s 伊藤積分伊藤過程跳躍擴散（英語：Jump diffusion）跳躍過程萊維過程 Local time（英語：Local time (mathematics)）馬可夫加過程（英語：Markov additive process）麥基恩-弗拉索夫過程（英語：McKean–Vlasov process）奧恩斯坦-烏倫貝克過程泊松過程複合泊松過程（英語：Compound Poisson process）非齊次泊松過程泊松點過程施拉姆-勒夫納演進半鞅 Sigma-martingale（英語：Sigma-martingale） Stable process（英語：Stable process） Superprocess（英語：Superprocess） Telegraph process（英語：Telegraph process） Variance gamma process（英語：Variance gamma process）維納過程 Wiener sausage（英語：Wiener sausage）

離散時間與連續時間	分支過程高斯過程隱藏式馬可夫模型（HMM）馬可夫過程鞅鞅差序列（英語：Martingale difference sequence）局部鞅（英語：Local martingale） Sub- Super-（英語：Super-） Random dynamical system（英語：Random dynamical system） Regenerative process（英語：Regenerative process） Renewal process（英語：Renewal process）白雜訊

場及其它	狄利克雷過程（英語：Dirichlet process）高斯隨機場（英語：Gaussian random field）吉布斯測度（英語：Gibbs measure）霍普菲爾德神經網絡易辛模型馬可夫網絡滲流理論皮特曼-約爾過程（英語：Pitman–Yor process）點過程（英語：Point process） Cox（英語：Point process#Cox point process）泊松過程玻茨模型隨機場隨機圖

時間序列模型	ARCH模型 ARIMA模型自我迴歸模型 ARMA模型廣義ARCH模型移動平均模型

金融模型	布萊克-德爾曼-托伊模型（英語：Black–Derman–Toy model）布萊克-卡拉辛斯基模型（英語：Black–Karasinski model）布萊克-休斯模型陳模型 Constant elasticity of variance (CEV)（英語：Constant elasticity of variance model）科克斯-英格索爾-羅斯模型 (CIR)（英語：Cox–Ingersoll–Ross model） Garman–Kohlhagen（英語：Garman–Kohlhagen model） HJM框架赫斯頓模型（英語：Heston model） Ho–Lee（英語：Ho–Lee model）赫爾-懷特模型 LIBOR市場模型（英語：LIBOR market model） SABR volatility（英語：SABR volatility model）瓦西塞克模型（英語：Vasicek model）

精算學	Bühlmann（英語：Bühlmann model） Cramér–Lundberg（英語：Cramér–Lundberg model） Risk process（英語：Risk process） Sparre–Anderson（英語：Sparre–Anderson model）

等候理論	Bulk（英語：Bulk queue） Fluid（英語：Fluid queue） Generalized queueing network（英語：G-network） M/G/1（英語：M/G/1 queue） M/M/1 M/M/c（英語：M/M/c queue）

性質	右連左極函數 Continuous（英語：Continuous stochastic process） Continuous paths（英語：Sample-continuous process）遍歷性 Exchangeable（英語：Exchangeable random variables） Feller-continuous（英語：Feller-continuous process） Gauss–Markov（英語：Gauss–Markov process）馬可夫性質 Mixing（英語：Mixing (mathematics)） Piecewise deterministic（英語：Piecewise deterministic Markov process）可預測過程循序可測過程 Self-similar（英語：Self-similar process）平穩過程 Time-reversible（英語：Time reversibility）

極限定理	中心極限定理 Donsker's theorem（英語：Donsker's theorem） Doob's martingale convergence theorems（英語：Doob's martingale convergence theorems）遍歷理論 Fisher–Tippett–Gnedenko theorem（英語：Fisher–Tippett–Gnedenko theorem） Large deviation principle（英語：Large deviation principle）大數法則重對數律 Maximal ergodic theorem（英語：Maximal ergodic theorem） Sanov's theorem（英語：Sanov's theorem）

不等式	Burkholder–Davis–Gundy（英語：Burkholder–Davis–Gundy inequalities） Doob's martingale（英語：Doob's martingale inequality） Kunita–Watanabe（英語：Kunita–Watanabe inequality）

工具	Cameron–Martin formula（英語：Cameron–Martin formula）隨機變量的收斂 Doléans-Dade exponential（英語：Doléans-Dade exponential） Doob decomposition theorem（英語：Doob decomposition theorem） Doob–Meyer decomposition theorem（英語：Doob–Meyer decomposition theorem） Doob's optional stopping theorem（英語：Doob's optional stopping theorem） Dynkin's formula（英語：Dynkin's formula）費曼-卡茨公式右連左極函數 Girsanov theorem（英語：Girsanov theorem） Infinitesimal generator（英語：Infinitesimal generator (stochastic processes)）伊藤積分伊藤引理 Kolmogorov continuity theorem（英語：Kolmogorov continuity theorem） Kolmogorov extension theorem（英語：Kolmogorov extension theorem） Lévy–Prokhorov metric（英語：Lévy–Prokhorov metric） Malliavin calculus（英語：Malliavin calculus） Martingale representation theorem（英語：Martingale representation theorem） Optional stopping theorem（英語：Optional stopping theorem） Prohorov theorem（英語：Prohorov theorem）二次變差 Reflection principle（英語：Reflection principle (Wiener process)） Skorokhod integral（英語：Skorokhod integral） Skorokhod's representation theorem（英語：Skorokhod's representation theorem）右連左極函數 Snell envelope（英語：Snell envelope）隨機微分方程 Tanaka（英語：Tanaka equation）停時隨機積分 Uniform integrability（英語：Uniform integrability） Usual hypotheses（英語：Usual hypotheses）維納空間 Classical（英語：Classical Wiener space） Abstract 漂移項

相關領域	精算學計量經濟學遍歷理論極值理論（EVT） Large deviations theory（英語：Large deviations theory）數理金融學數理統計學概率論等候理論 Renewal theory（英語：Renewal theory） Ruin theory（英語：Ruin theory）統計學隨機分析時間序列分析機器學習

分類