無界算子

在數學中, 特別是泛函分析與算符理論, 無界算子的概念提供了用於處理微分算符, 量子力學中無界可觀測量等的一個抽象框架.

無界算子的名稱具有一定的誤導性，這是因為

• 「無界」有時可以被理解為 "無需有界"，或者說 "不一定有界"；
• 「算符」當被理解為「線性算符」（這和「有界算子」是相同的）；
• 算符的定義域為線性子空間, 不必為全空間；
• 線性子空間不必有界； 一般被假定為稠密；
• 特殊情況下的有界算子，定義域被假定為全空間

不同於有界算子, 給定空間上的無界算子不構成代數，甚至不構成線性空間，這是因為每一個無界算子有各自的定義域。

「算子」通常指「有界線性算子」，但在以下內容中默認指「無界算子」。給定空間默認為希爾伯特空間，但可以擴展到巴拿赫空間與更有普遍性的拓撲向量空間。

歷史簡述

無界算子理論誕生於20世紀20年代晚期以及30年代早期，作為量子力學嚴格數學框架的一部分而得到發展. 約翰·馮·諾伊曼以及Marshall Stone爲理論發展的主要貢獻者。馮·諾伊曼在1936年利用圖對無界算符進行分析.

定義與基本性質

令 B₁ 與 B₂ 為 巴拿赫空間. 無界算子 (或簡稱為算子) T : B₁ → B₂是一個線性映射 T， 從B₁ 的線性子空間D(T) （T的定義域）映射到空間 B₂. 不同於慣例, T 可能不定義在整個空間B₁.

如果函數圖 Γ(T) 為一個閉集，算子T被稱為閉算子. （這裏，圖 Γ(T) 是直和B₁ ⊕ B₂的一個線性子空間，定義為所以對(x, Tx)的集合, x定義在T上）. 這意味着，對所有來自域T的點列(x_n)，x_n收斂到x， Tx_n 收斂到y, x在域T上成立，且 Tx = y. 有界性可以通過圖模描述: 算符 T 是有界的， 若且唯若它的定義域 D(T) 是關於下面的模的完備空間:

$\|x\|_{T}={\sqrt {\|x\|^{2}+\|Tx\|^{2}}}\ .$

如果在B₁上定義域稠密，算子 T被稠密定義。這同樣包括定義在整個 B₁ 上的算子, 因為整個空間本身稠密。 定義域的稠密是轉置與伴隨函數存在的充分必要條件。

若T : B₁ → B₂為閉集, 在它的定義域上稠密且連續, 則它定義在B₁上.

如果 T + a 是實數 a的正算符，希爾伯特空間 H 上稠密定義的算符 T被稱作下有界. 即,對所有T域上的x來說，⟨Tx|x⟩ ≥ −a·||x||² . 如果 T 與 (–T) 都是下有界的，T有界.

參考資料

• Berezansky, Y.M.; Sheftel, Z.G.; Us, G.F., Functional analysis II, Birkhäuser, 1996  (see Chapter 12 "General theory of unbounded operators in Hilbert spaces").
• Brezis, Haïm, Analyse fonctionnelle — Théorie et applications, Paris: Mason, 1983 （法語） 
• Hazewinkel, Michiel (編), Unbounded operator, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Hall, B.C., Chapter 9. Unbounded Self-adjoint Operators, Quantum Theory for Mathematicians, Graduate Texts in Mathematics, Springer, 2013 
• Kato, Tosio, Chapter 5. Operators in Hilbert Space, Perturbation theory for linear operators, Classics in Mathematics, Springer-Verlag, 1995, ISBN 3-540-58661-X 
• Pedersen, Gert K., Analysis now, Springer, 1989  (see Chapter 5 "Unbounded operators").
• Reed, Michael; Simon, Barry, Methods of Modern Mathematical Physics, 1: Functional Analysis revised and enlarged, Academic Press, 1980  (see Chapter 8 "Unbounded operators").
• Yoshida, Kôsaku, Functional Analysis sixth, Springer, 1980 

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