正切

正切

性質
奇偶性	奇
定義域	$\left\{x\in \mathbb {R} \|x\neq k\pi +{\tfrac {\pi }{2}},\,k\in \mathbb {Z} \right\}$ $\left\{x\in \mathbb {R} \|x\neq 180^{\circ }k+90^{\circ },\,k\in \mathbb {Z} \right\}$
到達域	(-∞,∞)
周期	$\pi$ （180°）
特定值
當x=0	0
當x=+∞	N/A
當x=-∞	N/A
最大值	∞
最小值	-∞
其他性質
漸近線	$x=\left(2k+1\right){\tfrac {\pi }{2}}$ （ $x =180° k +90°$ ）
根	$k\pi$ （ $180° k$ ）
不動點	當x軸為弧度時： 0 ±4.4934094579091... （±257.453397562356...°） ±7.7252518369378... （±442.6243259322...°） ±10.9041216594289... （±624.7601503824636...°） ... 當x軸為角度時： 0 ±89.35883916555255...° ±269.78762733604602...° ±449.8726402096397...° ...
k是一個整數。

正切（Tangent， $\tan$ ，東歐國家將其寫作tg）是三角函數的一種。它的值域是整個實數集，定義域落在 $\left\{x|x\neq k\pi +{\tfrac {\pi }{2}},k\in \mathbb {Z} \right\}$ （ $\left\{x\in \mathbb {R} |x\neq 180^{\circ }k+90^{\circ },\,k\in \mathbb {Z} \right\}$ ）。它是周期函數，其最小正周期為 $\pi$ （180°）。正切函數是奇函數。

符號說明[編輯]

正切的符號為 $\tan$ ，源於英文tangent。該符號最早由數學家湯瑪斯·芬克（英語：Thomas Fincke）（Thomas Fincke）所採用。

定義[編輯]

直角三角形中[編輯]

直角三角形，∠C為直角，∠A 的角度為 $\theta$ ，對於 ∠A 而言，a為對邊、b為鄰邊、c為斜邊

在直角三角形中，一個銳角的正切定義為它的對邊與鄰邊的比值，也就是：

\tan \theta ={\frac {\text{a}}{\text{b}}}={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}\,\!

可以發現其定義和餘切函數互為倒數。

直角坐標系中[編輯]

設 $\alpha$ 是平面直角坐標系xOy中的一個象限角， $P\left({x,y}\right)$ 是角的終邊上一點， $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>0$ 是P到原點O的距離，則α的正切定義為：

\tan \alpha ={\frac {y}{x}}

單位圓定義[編輯]

圖像中給出了用弧度度量的某個公共角。逆時針方向的度量是正角而順時針的度量是負角。設一個過原點的線，同x軸正半部分得到一個角θ，並與單位圓相交，並令這個交點為y。另原點為O。做一直線，y點，垂直於 ${\overline {Oy}}$ ，並與單位圓相切，令直線與x軸的交點，則此點與y點之距離為正切比值。

單位圓可以被認為是通過改變鄰邊和對邊的長度並保持斜邊等於1查看無限數目的三角形的一種方式。

對於大於 $2\pi$ （360°）或小於 $-2\pi$ （-360°）的角度，簡單的繼續繞單位圓旋轉。在這種方式下，有些三角函數變成了周期為 $2\pi$ （360°）的周期函數；但由於正切是切線，再繞單位圓旋轉時，會出現周期是 $\pi$ （180°），所以正切是周期為π（180°）的周期函數：

\tan \theta =\tan \left(\theta +\pi k\right)=\tan \left(\theta +180^{\circ }k\right)

對於任何角度 $\theta$ 和任何整數 $k$ 。

級數定義[編輯]

正切函數也可以使用泰勒展開式定義

\tan x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+{\frac {17x^{7}}{315}}+{\frac {62x^{9}}{2835}}+...=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}

其中 $B_{2n}$ 為伯努利數。

另外，我們也有

\tan x=8x\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(1-2k)^{2}\pi ^{2}-4x^{2}}}.

微分方程定義[編輯]

$\tan$ 的微分是 $\sec$ 的平方

{\frac {d}{dx}}\tan x\ =\sec ^{2}x

另外

\int \tan x\,dx=-\ln(\cos x)

所以可以用

\tan x=(-\ln(\cos x))'\,

來定義。

指數定義[編輯]

$\tan \theta ={\frac {e^{{\mathrm {i} }\theta }-e^{-{\mathrm {i} }\theta }}{{\mathrm {i} }(e^{{\mathrm {i} }\theta }+e^{-{\mathrm {i} }\theta })}}\,$

恆等式[編輯]

用其它三角函數來表示正切[編輯]

函數	sin	cos	tan	cot	sec	csc
$\tan \theta$	${\frac {\sin \theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}$	${\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}{\cos \theta }}$	$\tan \theta \$	${\frac {1}{\cot \theta }}$	${\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}$	${\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}$

角的和差[編輯]

$\tan(\theta \pm \psi )={\frac {\tan \theta \pm \tan \psi }{1\mp \tan \theta \tan \psi }}$

正切的有限多項和[編輯]

設 $x_{i}=\tan(\theta _{i})$ ，對於 $i=1,\ldots ,n$ 。設 $e_{k}$ 是變量 $x_{i}$ ， $i=1,\ldots ,n$ ， $k=0,\ldots ,n$ 的 $k$ 次基本對稱多項式。則

\tan(\theta _{1}+\cdots +\theta _{n})={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }},

項的數目依賴於 $n$ 。例如，

{\begin{aligned}\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3})&{}={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})}},\\\\\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3}+\theta _{4})&{}={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}}}\\\\&{}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})\ +\ (x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})}},\end{aligned}}

並以此類推。一般情況可通過數學歸納法證明。

半角公式[編輯]

${\begin{aligned}\tan {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta -\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {1-\cos \theta \over 1+\cos \theta }}\\&={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}\\&={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}\\&={\frac {\cos \theta +\sin \theta -1}{\cos \theta -\sin \theta +1}}\end{aligned}}$

二倍角[編輯]

${\begin{aligned}\tan 2\theta &={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}\\&={\frac {1}{1-\tan \theta }}-{\frac {1}{1+\tan \theta }}\\\end{aligned}}$