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外延公理

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公理化集合論與使用它的邏輯數學計算機科學分支中,外延性公理外延公理(英語:Axiom of extensionality)是 Zermelo-Fraenkel 集合論公理之一。

形式陳述

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在 Zermelo-Fraenkel 公理的形式語言中,它讀做:

換句話說:

給定任何集合和任何集合等於當且僅當給定任何集合的一個成員當且僅當的一個成員。

(這裡的是集合不是本質性的,但在ZF中所有東西都是集合。參見下面的帶有基本元素的集合論章節)。

解釋

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要理解這個公理,注意上述符號陳述中圓括號內的子句簡單的聲稱了 AB 有完全相同的成員。所以,這個公理實際上說的是兩個集合相等,當且僅當它們有完全相同的成員。它的本質是:

集合唯一的由它的成員來決定。(Every set is uniquely determined by its elements.)

外延性公理可以同 形式的概括陳述一起使用,這裡的是不提及的任何一元謂詞,來定義一個唯一集合,它的成員完全是滿足謂詞的集合。我們可以接着為介入新的符號;普通數學中的定義最終以這種方式工作的,當它們的陳述簡化到純集合論術語的時候。

外延性公理一般被認為是無可爭議的,它或它的等價命題出現在所有可替代的集合論的公理化中。但是對於某些使用需要修改。

在沒有等號的謂詞邏輯中

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上面給出的公理假定等號是謂詞邏輯的基本符號。某些公理化集合論的做法是不做這個假定:有的不把上述陳述作為公理,而是作為對等號的定義。那麼,就必須連同來自謂詞邏輯中有關等式的公理,作為關於這個被定義的符號的公理。多數等式的公理仍能從這個定義得出;餘下的一個是

而這就成為了所謂的外延性公理。

在有基本元素的集合論中

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基本元素是自身不是集合的一個集合的一個元素。在 Zermelo-Fraenkel 公理中沒有基本元素,但在某些可替代的集合論的公理化中會有它們。基本元素可以被當作不同於集合的邏輯類型;在這種情況下,如果是基本元素,則沒有意義,所以外延性公理只適用於集合。

作為選擇之一,在無類型邏輯中我們可以要求是基本元素的時候為假。在這種情況下,平常的外延性公理將蘊涵所有基本元素等於空集。為了避免這樣,我們可以修改外延性公理為只適用於非空集合,並把它讀為:

就是說:

給定任何集合和任何集合,如果是非空集合(就是說存在着的一個成員),那麼是相等的,當且僅當它們有完全相同的成員。

另一個選擇,在無類型邏輯中可定義是基本元素的時候自身是的唯一的元素。儘管這個方式可以勝任保存外延性公理,但基礎公理反而需要調整。

引用

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  • Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
  • Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
  • Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.