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秩 (線性代數)

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線性代數
向量 · 向量空間 · 基底  · 行列式  · 矩陣

線性代數中,一個矩陣 的列秩是列向量生成的最大線性無關組的向量個數。類似地,行秩是矩陣線性無關的橫行的個數。矩陣的列秩和行秩總是相等的,因此它們可以簡單地稱作矩陣 Rank)。通常表示為

可替代定義

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用行列式定義

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矩陣。若 至少有一個 階非零子式,而其所有 階子式全為零,即矩陣的最高階非零子式的階數為r。則稱 的秩。

用向量組的秩定義

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對於 線性空間 中的一個向量組 ,若 中的 個向量線性無關,且若 個向量都線性相關,則稱 極大線性無關組。可以證明 的秩等於向量組 生成的子空間的維數。 矩陣 列秩定義為 的列向量組的秩,也即矩陣的列空間的維數。類似地,矩陣的行秩定義為 的行向量組的秩,即矩陣的行空間的維數。

用線性映射定義

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考慮線性映射

對於每個矩陣 都是一個線性映射,同時,對每個 的 線性映射 ,都存在矩陣 使得 。也就是說,映射

是一個同構映射。所以一個矩陣 的秩還可定義為 的像的維度(像與核的討論參見線性映射)。矩陣 稱為 變換矩陣。這個定義的好處是適用於任何線性映射而不需要指定矩陣,因為每個線性映射有且僅有一個矩陣與其對應。秩還可以定義為 的維度;秩-零化度定理聲稱它等於 的像的維度。

行秩列秩相等性

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矩陣的行秩與列秩相等,是線性代數基本定理的重要組成部分。其基本證明思路是,矩陣可以看作線性映射的變換矩陣,列秩為像空間的維度,行秩為非零原像空間的維度,因此列秩與行秩相等,即像空間的維度與非零原像空間的維度相等(這裡的非零原像空間是指約去了零空間後的商空間:原像空間)。這從矩陣的奇異值分解就可以看出來。

給出這一結果的兩種證明. 第一個證明是簡短的,僅用到向量的線性組合的基本性質. 第二個證明利用了正交性[1]. 第一個證明利用了列空間的基, 第二個證明利用了行向量空間的基. 第一個證明適用於定義在標量域上的矩陣,第二個證明適用於內積空間。二者都適用於實或復的歐氏空間,也都易於修改去證明當A是線性變換的情形.

證明一

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是一個 的矩陣,其列秩為 . 因此矩陣 的列空間的維度是 . 令 的列空間的一組基,構成 矩陣 的列向量 ,並使得 的每個列向量是 個列向量的線性組合. 由矩陣乘法的定義,存在一個 矩陣 , 使得 . ( 元素是 的第 個行向量的點積.)

現在,由於 , 的每個行向量是 的行向量的線性組合,這意味着 的行向量空間被包含於 的行向量空間之中. 因此 的行秩 ≤ 的行秩. 但僅有行, 所以的行秩 ≤ = 的列秩. 這就證明了的行秩 ≤ 的列秩.

把上述證明過程中的「行」與「列」交換,利用對偶性質同樣可證的列秩 ≤ 的行秩。更簡單的方法是考慮的轉置矩陣,則的列秩 = 的行秩 ≤ 的列秩 = 的行秩. 這證明了的列秩等於的行秩. 證畢.

證明二

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矩陣,其行秩是. 因此的行向量空間的維度是,設的行向量空間的一組基. 如果把這組基當作原像列向量看待,則向量集是線性獨立的。 這是因為對一組標量係數,如果:

其中. 則可以推出有兩個事實: (a) 行向量空間的線性組合, 即屬於的行向量空間;(b) 由於 = 0, 正交於的所有行向量,從而正交於的行向量空間的所有向量. 事實(a)與(b)結合起來,則正交於自身,這意味着 = 0. 由的定義:

再由的行向量空間的一組線性獨立的基,可知. 因而是線性獨立的.

的列空間中的向量. 因此的列空間中個線性獨立的向量. 所以的列向量空間的維數(的列秩)必然不小於. 這證明了的行秩r ≤ 的列秩. 把這一結果應用於的轉置矩陣可以得到: 的列秩 = 的行秩 ≤ 列秩 = 的行秩. 這證明了的列秩等於的行秩,證畢.

最後, 還可以證明rk(A) = rk(A*), 其中A*A的共軛轉置或稱施密特轉置. 當A的元素都是實數, 這一結果變為rk(A) = rk(AT). 然而對於復係數矩陣,rk(A) = rk(A*)並不等價於行秩等於列秩, 需要用到上述兩個證明.

證明三

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A是一個m×n矩陣. 定義rk(A)為A的列秩,A*A的共軛轉置或稱施密特轉置. 首先可知A*Ax = 0當且僅當Ax = 0.

A*Ax = 0 ⇒ x*A*Ax = 0 ⇒ (Ax)*(Ax) = 0 ⇒ ‖Ax‖2 = 0 ⇒ Ax = 0,

其中‖·‖是歐氏範數. 這說明A的零空間與A*A的零空間相同. 由秩-零化度定理, 可得rk(A) = rk(A*A). A*A的每一個列向量是A*的列向量的線性組合. 所以A*A的列空間是A*的列空間的子空間. 從而rk(A*A) ≤ rk(A*). 即: rk(A) = rk(A*A) ≤ rk(A*). 應用這一結果於A*可獲得不等式: 由於(A*)* = A, 可寫作rk(A*) ≤ rk((A*)*) = rk(A). 這證明了rk(A) = rk(A*). 證畢.

性質

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我們假定A是在域F上的m × n矩陣並描述了上述線性映射。

  • m × n矩陣的秩不大於m且不大於n的一個非負整數,表示為 rk(A) ≤ min(m, n)。有儘可能大的秩的矩陣被稱為有滿秩;類似的,否則矩陣是秩不足(或稱為「欠秩」)的。
  • 只有零矩陣有秩0
  • A的秩最大為min(m,n)
  • f單射,當且僅當A有秩n(在這種情況下,我們稱A有「列滿秩」)。
  • f滿射,當且僅當A有秩m(在這種情況下,我們稱A有「行滿秩」)。
  • 在方塊矩陣A (就是m = n)的情況下,則A可逆的,當且僅當A有秩n(也就是A有滿秩)。
  • 如果B是任何n × k矩陣,則AB的秩最大為A的秩和B的秩的小者。即:
    推廣到若干個矩陣的情況,就是:
    證明:
    考慮矩陣的秩的線性映射的定義,令A、B對應的線性映射分別為fg,則AB表示複合映射f·g,它的象Im f·gg的像Im g在映射f作用下的象。然而Im g是整個空間的一部分,因此它在映射f作用下的象也是整個空間在映射f作用下的象的一部分。也就是說映射Im f·gIm f的一部分。對矩陣就是:秩(AB)≤秩(A)。
    對於另一個不等式:秩(AB)≤秩(B),考慮Im g的一組:(e1,e2,...,en),容易證明(f(e1),f(e2),...,f(en))生成了空間Im f·g,於是Im f·g維度小於等於Im g的維度。對矩陣就是:秩(AB)≤秩(B)。
    因此有:秩(AB)≤min(秩(A),秩(B))。若干個矩陣的情況證明類似。
    作為"<"情況的一個例子,考慮積
    兩個因子都有秩1,而這個積有秩0。
    可以看出,等號成立當且僅當其中一個矩陣(比如說A)對應的線性映射不減少空間的維度,即是單射,這時A是滿秩的。於是有以下性質:
    • 如果B是秩nn × k矩陣,則
    • 如果C是秩ml × m矩陣,則
  • A的秩等於r,當且僅當存在一個可逆m × m矩陣X和一個可逆的n × n矩陣Y使得
    這裡的Ir指示r × r 單位矩陣
    證明可以通過高斯消去法構造性地給出。
  • 西爾維斯特不等式: 如果 A 是一個 m × n 的矩陣且 Bn × k 的, 則
    [i]
    這是下一個不等式的特例.
  • 這個不等式是由Frobenius提出的: 如果 AB, ABCBC 有定義, 則
    [ii]
  • 子加性:當矩陣的形狀相同時,有 . 因此,一個秩為k的矩陣能夠表示成k個秩為1的矩陣的加和,但不能是k-1個或更少。
  • 矩陣的秩加上矩陣的零化度等於矩陣的縱列數(這就是秩-零化度定理)。
  • 如果 A實數上的矩陣,那麼 A 的秩和它對應格拉姆矩陣的秩相等。於是,對於實矩陣
    .
    該性質可以通過它們的零空間證明. 格拉姆矩陣的零空間由所有滿足 的向量組成。如果上式成立, 那麼下式也成立: ,於是,,即的零空間相同.[2]
  • 如果 A複數上的矩陣且 A* 表示 A 的共軛轉置(i.e., A 伴隨), 則

向量組的線性相關性

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維列向量排列成的矩陣A,這個對應矩陣的秩即為原向量組的秩。

原向量組線性相關的充分必要條件為:

如果

則向量組線性無關。另外,不存在

特殊的,若向量的個數大於向量的維數,則根據:

這個向量組必然線性相關。

計算

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計算矩陣A的秩的最容易的方式是高斯消去法,即利用矩陣的初等變換生成一個行階梯形矩陣,由於矩陣的初等變換不改變矩陣的秩,因此A的行階梯形矩陣有同A一樣的秩。經過初等變換的矩陣的非零行的數目就是原矩陣的秩。

例如考慮4 × 4矩陣

我們看到第2縱列是第1縱列的兩倍,而第4縱列等於第1和第3縱列的總和。第1和第3縱列是線性無關的,所以A的秩是2。這可以用高斯算法驗證。它生成下列A的行階梯形矩陣:

它有兩個非零的橫行。

在應用在計算機上的浮點數的時候,基本高斯消去(LU分解)可能是不穩定的,應當使用秩啟示(revealing)分解。一個有效的替代者是奇異值分解(SVD),但還有更少代價的選擇,比如有支點(pivoting)的QR分解,它也比高斯消去在數值上更強壯。秩的數值判定要求對一個值比如來自SVD的一個奇異值是否為零的依據,實際選擇依賴於矩陣和應用二者。

應用

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計算矩陣的秩的一個有用應用是計算線性方程組解的數目。如果係數矩陣的秩等於增廣矩陣的秩,則該方程組有解。在這種情況下,如果它的秩等於方程的數目那麼該方程組有唯一的一個精確解。如果增廣矩陣的秩大於係數矩陣的秩,則方程組是不一致(Inconsistent)的。

控制論中,矩陣的秩可以用來確定線性系統是否為可控制的,或可觀察的。

註解

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  1. ^ 證明: 對不等式使用秩-零化度定理
  2. ^ 證明:商空間之間的映射C: ker(ABC) / ker(BC) → ker(AB) / ker(B)有定義且為單射。因此我們得到了關於核維數關係的不等式dim ker(ABC)-dim ker(BC) ≤ dim ker(AB) - dim ker(B), 利用秩-零化度定理即可得到結論(即dim ker(ABC)-dim ker(BC)=rank(BC)-rank(ABC), 右邊同理)。或者也可以這麼證明:假如M是一個子線性空間,A是線性映射,那麼dim(A(M)) ≤ dim(M) (*); 記映射BC(注意先進行C映射後進行B映射)的像為im(BC), 映射B的像為im(B), 則im(BC)⊆im(B), 取im(B)中im(BC)的正交補(不一定要正交,構成直和關係即可,這裡取正交補只是為了方便)記為D, 則dim(D) = rk(B) – rk(BC); 而由線性映射的規律知im(AB) = AD + im(ABC), 但不一定再是直和,即dim(AD) + rk(ABC) ≥ rk(AB), 利用不等式(*)可得dim(D)[=rk(B) – rk(BC)] + rk(ABC) ≥ rk(AB), 從而得證。

參考文獻

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  1. ^ Mackiw, G. (1995). A Note on the Equality of the Column and Row Rank of a Matrix. Mathematics Magazine, Vol. 68, No. 4
  2. ^ Mirsky, Leonid. An introduction to linear algebra. Dover Publications. 1955. ISBN 978-0-486-66434-7. 
  • Horn, Roger A. and Johnson, Charles R. Matrix Analysis. Cambridge University Press, 1985. ISBN 978-0-521-38632-6.
  • Kaw, Autar K. Two Chapters from the book Introduction to Matrix Algebra: 1. Vectors [1] and System of Equations [2]

參見

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