秩 (线性代数)

线性代数
	向量 · 向量空间 · 基底 · 行列式 · 矩阵
向量
	标量 · 向量 · 向量空间 · 向量投影 · 外积（向量积 · 七维向量积） · 内积（数量积） · 二重向量
矩阵与行列式
	矩阵 · 行列式 · 线性方程组 · 秩 · 核 · 迹 · 单位矩阵 · 初等矩阵 · 方块矩阵 · 分块矩阵 · 三角矩阵 · 非奇异方阵 · 转置矩阵 · 逆矩阵 · 对角矩阵 · 可对角化矩阵 · 对称矩阵 · 反对称矩阵 · 正交矩阵 · 幺正矩阵 · 埃尔米特矩阵 · 反埃尔米特矩阵 · 正规矩阵 · 伴随矩阵 · 余因子矩阵 · 共轭转置 · 正定矩阵 · 幂零矩阵 · 矩阵分解（LU分解 · 奇异值分解 · QR分解 · 极分解 · 特征分解） · 子式和余子式 · 拉普拉斯展开 · 克罗内克积
线性空间与线性变换
	线性空间 · 线性变换 · 线性子空间 · 线性生成空间 · 基 · 线性映射 · 线性投影 · 线性无关 · 线性组合 · 线性泛函 · 行空间与列空间 · 对偶空间 · 正交 · 特征向量 · 最小二乘法 · 格拉姆-施密特正交化
	查; 论; 编;

在线性代数中，一个矩阵 $A$ 的列秩是列向量生成的最大线性无关组的向量个数。类似地，行秩是矩阵 $A$ 的线性无关的横行的个数。矩阵的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵 $A$ 的秩（Rank）。通常表示为 $\mathrm {r} (A)$ ， $\mathrm {rank} (A)$ 或 $\mathrm {rk} (A)$ 。

可替代定义

用行列式定义

设 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵。若 $A$ 至少有一个 $r$ 阶非零子式，而其所有 $r+1$ 阶子式全为零，即矩阵的最高阶非零子式的阶数为r。则称 $r$ 为 $A$ 的秩。

用向量组的秩定义

对于 $m$ 维线性空间 $V$ 中的一个向量组 $F=\{\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{s}\}$ ，若 $F\supseteq S=\{\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{r}\}$ 中的 $r$ 个向量线性无关，且若 $r<s$ ， $\forall \alpha _{r+1}\in F-S$ ， $S\cup \{\alpha _{r+1}\}$ 中 $r+1$ 个向量都线性相关，则称 $\{\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{r}\}$ 为 $\{\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{s}\}$ 的极大线性无关组， $r$ 为 $\{\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{s}\}$ 的秩。可以证明 $F$ 的秩等于向量组 $F$ 生成的子空间的维数。矩阵 $A$ 的列秩定义为 $A$ 的列向量组的秩，也即矩阵的列空间的维数。类似地，矩阵的行秩定义为 $A$ 的行向量组的秩，即矩阵的行空间的维数。

用线性映射定义

考虑线性映射：

f_{A}:F^{n}\to F^{m}

x\mapsto A\cdot x

对于每个矩阵 $A$ ， $f_{A}$ 都是一个线性映射，同时，对每个 $F^{n}\to F^{m}$ 的线性映射 $f$ ，都存在矩阵 $A$ 使得 $f=f_{A}$ 。也就是说，映射

\Phi :{\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {K} )\to {\mathcal {L}}(F^{n},F^{m})

A\mapsto f_{A}

是一个同构映射。所以一个矩阵 $A$ 的秩还可定义为 $f_{A}$ 的像的维度（像与核的讨论参见线性映射）。矩阵 $A$ 称为 $f_{A}$ 的变换矩阵。这个定义的好处是适用于任何线性映射而不需要指定矩阵，因为每个线性映射有且仅有一个矩阵与其对应。秩还可以定义为 $n-f$ 的核的维度；秩-零化度定理声称它等于 $f$ 的像的维度。

行秩列秩相等性

矩阵的行秩与列秩相等，是线性代数基本定理的重要组成部分。其基本证明思路是，矩阵可以看作线性映射的变换矩阵，列秩为像空间的维度，行秩为非零原像空间的维度，因此列秩与行秩相等，即像空间的维度与非零原像空间的维度相等（这里的非零原像空间是指约去了零空间后的商空间：原像空间）。这从矩阵的奇异值分解就可以看出来。

给出这一结果的两种证明. 第一个证明是简短的，仅用到向量的线性组合的基本性质. 第二个证明利用了正交性^[1]. 第一个证明利用了列空间的基, 第二个证明利用了行向量空间的基. 第一个证明适用于定义在标量域上的矩阵，第二个证明适用于内积空间。二者都适用于实或复的欧氏空间，也都易于修改去证明当A是线性变换的情形.

证明一

令 $A$ 是一个 $m\times n$ 的矩阵，其列秩为 $r$ . 因此矩阵 $A$ 的列空间的维度是 $r$ . 令 $c_{1},c_{2},\ldots ,c_{r}$ 是 $A$ 的列空间的一组基，构成 $m\times r$ 矩阵 $C$ 的列向量 $C=[c_{1},c_{2},\ldots ,c_{r}]$ ，并使得 $A$ 的每个列向量是 $C$ 的 $r$ 个列向量的线性组合. 由矩阵乘法的定义，存在一个 $r\times n$ 矩阵 $R$ , 使得 $A=CR$ . ( $A$ 的 $(i,j)$ 元素是 $c_{i}$ 与 $R$ 的第 $j$ 个行向量的点积.)

现在，由于 $A=CR$ , $A$ 的每个行向量是 $R$ 的行向量的线性组合，这意味着 $A$ 的行向量空间被包含于 $R$ 的行向量空间之中. 因此 $A$ 的行秩 ≤ $R$ 的行秩. 但 $R$ 仅有 $r$ 行, 所以 $R$ 的行秩 ≤ $r$ = $A$ 的列秩. 这就证明了 $A$ 的行秩 ≤ $A$ 的列秩.

把上述证明过程中的“行”与“列”交换，利用对偶性质同样可证 $A$ 的列秩 ≤ $A$ 的行秩。更简单的方法是考虑 $A$ 的转置矩阵 $A^{\mathrm {T} }$ ，则 $A$ 的列秩 = $A^{\mathrm {T} }$ 的行秩 ≤ $A^{\mathrm {T} }$ 的列秩 = $A$ 的行秩. 这证明了 $A$ 的列秩等于 $A$ 的行秩. 证毕.

证明二

令 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，其行秩是 $r$ . 因此 $A$ 的行向量空间的维度是 $r$ ，设 $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{r}$ 是 $A$ 的行向量空间的一组基. 如果把这组基当作原像列向量看待，则向量集 $Ax_{1},Ax_{2},\ldots ,Ax_{r}$ 是线性独立的。这是因为对一组标量系数 $c_{1},c_{2},\ldots ,c_{r}$ ，如果:

c_{1}Ax_{1}+c_{2}Ax_{2}+\cdots c_{r}Ax_{r}=A(c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots +c_{r}x_{r})=Av=0,

其中 $v=c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\ldots ,c_{r}x_{r}$ . 则可以推出有两个事实: (a) $v$ 是 $A$ 行向量空间的线性组合, 即 $v$ 属于 $A$ 的行向量空间；(b) 由于 $Av$ = 0, $v$ 正交于 $A$ 的所有行向量，从而正交于 $A$ 的行向量空间的所有向量. 事实(a)与(b)结合起来，则 $v$ 正交于自身，这意味着 $v$ = 0. 由 $v$ 的定义:

c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\ldots ,c_{r}x_{r}=0.

再由 $x_{i}$ 是 $A$ 的行向量空间的一组线性独立的基，可知 $c_{1}=c_{2}=\cdots =c_{r}=0$ . $Ax_{1},Ax_{2},\ldots ,Ax_{r}$ 因而是线性独立的.

$Ax_{i}$ 是 $A$ 的列空间中的向量. 因此 $Ax_{1},Ax_{2},\ldots ,Ax_{r}$ 是 $A$ 的列空间中 $r$ 个线性独立的向量. 所以 $A$ 的列向量空间的维数( $A$ 的列秩)必然不小于 $r$ . 这证明了 $A$ 的行秩r ≤ $A$ 的列秩. 把这一结果应用于 $A$ 的转置矩阵可以得到: $A$ 的列秩 = $A^{\mathrm {T} }$ 的行秩 ≤ $A^{\mathrm {T} }$ 列秩 = $A$ 的行秩. 这证明了 $A$ 的列秩等于 $A$ 的行秩，证毕.

最后, 还可以证明rk(A) = rk(A^*), 其中A^*是A的共轭转置或称施密特转置. 当A的元素都是实数, 这一结果变为rk(A) = rk(A^T). 然而对于复系数矩阵，rk(A) = rk(A^*)并不等价于行秩等于列秩, 需要用到上述两个证明.

证明三

令A是一个m×n矩阵. 定义rk(A)为A的列秩，A^*为A的共轭转置或称施密特转置. 首先可知A^*Ax = 0当且仅当Ax = 0.

A^*Ax = 0 ⇒ x^*A^*Ax = 0 ⇒ (Ax)^*(Ax) = 0 ⇒ ‖Ax‖² = 0 ⇒ Ax = 0,

其中‖·‖是欧氏范数. 这说明A的零空间与A^*A的零空间相同. 由秩－零化度定理, 可得rk(A) = rk(A^*A). A^*A的每一个列向量是A^*的列向量的线性组合. 所以A^*A的列空间是A^*的列空间的子空间. 从而rk(A^*A) ≤ rk(A^*). 即: rk(A) = rk(A^*A) ≤ rk(A^*). 应用这一结果于A^*可获得不等式: 由于(A^*)^* = A, 可写作rk(A^*) ≤ rk((A^*)^*) = rk(A). 这证明了rk(A) = rk(A^*). 证毕.

性质

我们假定A是在域F上的m × n矩阵并描述了上述线性映射。

m × n矩阵的秩不大于m且不大于n的一个非负整数，表示为 rk(A) ≤ min(m, n)。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足（或称为“欠秩”）的。
只有零矩阵有秩0
A的秩最大为min(m,n)
f是单射，当且仅当A有秩n（在这种情况下，我们称A有“列满秩”）。
f是满射，当且仅当A有秩m（在这种情况下，我们称A有“行满秩”）。
在方块矩阵A (就是m = n)的情况下，则A是可逆的，当且仅当A有秩n（也就是A有满秩）。
如果B是任何n × k矩阵，则AB的秩最大为A的秩和B的秩的小者。即：
$\operatorname {rank} (AB)\leq \min(\operatorname {rank} \ A,\operatorname {rank} \ B).$

推广到若干个矩阵的情况，就是：
$\operatorname {rank} (A_{1}A_{2}\cdots A_{n})\leq \min(\operatorname {rank} \ A_{1},\operatorname {rank} \ A_{2},\cdots ,\operatorname {rank} \ A_{n}).$

证明：
考虑矩阵的秩的线性映射的定义，令A、B对应的线性映射分别为f和g，则AB表示复合映射f·g，它的象Im f·g是g的像Im g在映射f作用下的象。然而Im g是整个空间的一部分，因此它在映射f作用下的象也是整个空间在映射f作用下的象的一部分。也就是说映射Im f·g是Im f的一部分。对矩阵就是：秩（AB）≤秩（A）。

对于另一个不等式：秩（AB）≤秩（B），考虑Im g的一组基：（e₁，e₂，...，e_n），容易证明（f(e₁)，f(e₂)，...，f(e_n)）生成了空间Im f·g，于是Im f·g的维度小于等于Im g的维度。对矩阵就是：秩（AB）≤秩（B）。

因此有：秩（AB）≤min(秩（A），秩（B））。若干个矩阵的情况证明类似。

作为"<"情况的一个例子，考虑积
${\begin{bmatrix}0&0\\1&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\0&1\\\end{bmatrix}}$

两个因子都有秩1，而这个积有秩0。
可以看出，等号成立当且仅当其中一个矩阵（比如说A）对应的线性映射不减少空间的维度，即是单射，这时A是满秩的。于是有以下性质：
- 如果B是秩n的n × k矩阵，则
  $\operatorname {rank} (AB)=\operatorname {rank} (A).$
- 如果C是秩m的l × m矩阵，则
  $\operatorname {rank} (CA)=\operatorname {rank} (A).$
A的秩等于r，当且仅当存在一个可逆m × m矩阵X和一个可逆的n × n矩阵Y使得
$XAY={\begin{bmatrix}I_{r}&0\\0&0\\\end{bmatrix}}$

这里的I_r指示r × r 单位矩阵。

证明可以通过高斯消元法构造性地给出。
西尔维斯特不等式: 如果 A 是一个 m × n 的矩阵且 B 是 n × k 的, 则
$\operatorname {rank} (A)+\operatorname {rank} (B)-n\leq \operatorname {rank} (AB).$ ^[i]

这是下一个不等式的特例.
这个不等式是由Frobenius提出的: 如果 AB, ABC 和 BC 有定义, 则
$\operatorname {rank} (AB)+\operatorname {rank} (BC)\leq \operatorname {rank} (B)+\operatorname {rank} (ABC).$ ^[ii]
子加性：当矩阵 $A$ 和 $B$ 的形状相同时，有 $\operatorname {rank} (A+B)\leq \operatorname {rank} (A)+\operatorname {rank} (B)$ . 因此，一个秩为k的矩阵能够表示成k个秩为1的矩阵的加和，但不能是k-1个或更少。
矩阵的秩加上矩阵的零化度等于矩阵的纵列数（这就是秩-零化度定理）。
如果 A 是实数上的矩阵，那么 A 的秩和它对应格拉姆矩阵的秩相等。于是，对于实矩阵
$\operatorname {rank} (A^{T}A)=\operatorname {rank} (AA^{T})=\operatorname {rank} (A)=\operatorname {rank} (A^{T})$ .

该性质可以通过它们的零空间证明. 格拉姆矩阵的零空间由所有满足 $A^{T}Ax=0$ 的向量 $x$ 组成。如果上式成立, 那么下式也成立： $0=x^{T}A^{T}Ax=|Ax|^{2}$ ，于是， $Ax=0$ ，即 $A^{T}A$ 与 $A$ 的零空间相同.^[2]
如果 A 是复数上的矩阵且 A* 表示 A 的共轭转置(i.e., A 的伴随), 则
$\operatorname {rank} (A)=\operatorname {rank} ({\overline {A}})=\operatorname {rank} (A^{T})=\operatorname {rank} (A^{*})=\operatorname {rank} (A^{*}A).$

向量组的线性相关性

将 $m$ 个 $n$ 维列向量排列成 $n\times m$ 的矩阵A，这个对应矩阵的秩即为原向量组的秩。

原向量组线性相关的充分必要条件为：

r(A)<m

如果

r(A)=m

则向量组线性无关。另外，不存在

r(A)>m

特殊的，若向量的个数 $m$ 大于向量的维数 $n$ ，则根据：

r(A)\leq n<m

这个向量组必然线性相关。

计算

计算矩阵A的秩的最容易的方式是高斯消元法，即利用矩阵的初等变换生成一个行阶梯形矩阵，由于矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，因此A的行阶梯形矩阵有同A一样的秩。经过初等变换的矩阵的非零行的数目就是原矩阵的秩。

例如考虑4 × 4矩阵

A={\begin{bmatrix}2&4&1&3\\-1&-2&1&0\\0&0&2&2\\3&6&2&5\\\end{bmatrix}}

我们看到第2纵列是第1纵列的两倍，而第4纵列等于第1和第3纵列的总和。第1和第3纵列是线性无关的，所以A的秩是2。这可以用高斯算法验证。它生成下列A的行阶梯形矩阵:

A={\begin{bmatrix}1&2&0&1\\0&0&1&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}

它有两个非零的横行。

在应用在计算机上的浮点数的时候，基本高斯消去（LU分解）可能是不稳定的，应当使用秩启示（revealing）分解。一个有效的替代者是奇异值分解（SVD），但还有更少代价的选择，比如有支点（pivoting）的QR分解，它也比高斯消去在数值上更强壮。秩的数值判定要求对一个值比如来自SVD的一个奇异值是否为零的依据，实际选择依赖于矩阵和应用二者。

应用

计算矩阵的秩的一个有用应用是计算线性方程组解的数目。如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则该方程组有解。在这种情况下，如果它的秩等于方程的数目那么该方程组有唯一的一个精确解。如果增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩，则方程组是不一致（Inconsistent）的。

在控制论中，矩阵的秩可以用来确定线性系统是否为可控制的，或可观察的。

注解

^ 证明: 对不等式 $\dim \operatorname {ker} (AB)\leq \dim \operatorname {ker} (A)+\dim \operatorname {ker} (B)$ 使用秩－零化度定理
^ 证明：商空间之间的映射C: ker(ABC) / ker(BC) → ker(AB) / ker(B)有定义且为单射。因此我们得到了关于核维数关系的不等式dim ker(ABC)-dim ker(BC) ≤ dim ker(AB) - dim ker(B), 利用秩-零化度定理即可得到结论（即dim ker(ABC)-dim ker(BC)=rank(BC)-rank(ABC), 右边同理）。或者也可以这么证明：假如M是一个子线性空间，A是线性映射，那么dim(A(M)) ≤ dim(M) (*); 记映射BC（注意先进行C映射后进行B映射）的像为im(BC), 映射B的像为im(B), 则im(BC)⊆im(B), 取im(B)中im(BC)的正交补（不一定要正交，构成直和关系即可，这里取正交补只是为了方便）记为D, 则dim(D) = rk(B) – rk(BC); 而由线性映射的规律知im(AB) = AD + im(ABC), 但不一定再是直和，即dim(AD) + rk(ABC) ≥ rk(AB), 利用不等式(*)可得dim(D)[=rk(B) – rk(BC)] + rk(ABC) ≥ rk(AB), 从而得证。

参考文献

^ Mackiw, G. (1995). A Note on the Equality of the Column and Row Rank of a Matrix. Mathematics Magazine, Vol. 68, No. 4
^ Mirsky, Leonid. An introduction to linear algebra. Dover Publications. 1955. ISBN 978-0-486-66434-7.

Horn, Roger A. and Johnson, Charles R. Matrix Analysis. Cambridge University Press, 1985. ISBN 978-0-521-38632-6.
Kaw, Autar K. Two Chapters from the book Introduction to Matrix Algebra: 1. Vectors [1] and System of Equations [2]

参见

向量组的秩

[2] 证明: 对不等式 $\dim \operatorname {ker} (AB)\leq \dim \operatorname {ker} (A)+\dim \operatorname {ker} (B)$ 使用秩－零化度定理

[3] 证明：商空间之间的映射C: ker(ABC) / ker(BC) → ker(AB) / ker(B)有定义且为单射。因此我们得到了关于核维数关系的不等式dim ker(ABC)-dim ker(BC) ≤ dim ker(AB) - dim ker(B), 利用秩-零化度定理即可得到结论（即dim ker(ABC)-dim ker(BC)=rank(BC)-rank(ABC), 右边同理）。或者也可以这么证明：假如M是一个子线性空间，A是线性映射，那么dim(A(M)) ≤ dim(M) (*); 记映射BC（注意先进行C映射后进行B映射）的像为im(BC), 映射B的像为im(B), 则im(BC)⊆im(B), 取im(B)中im(BC)的正交补（不一定要正交，构成直和关系即可，这里取正交补只是为了方便）记为D, 则dim(D) = rk(B) – rk(BC); 而由线性映射的规律知im(AB) = AD + im(ABC), 但不一定再是直和，即dim(AD) + rk(ABC) ≥ rk(AB), 利用不等式(*)可得dim(D)[=rk(B) – rk(BC)] + rk(ABC) ≥ rk(AB), 从而得证。

[1] Mackiw, G. (1995). A Note on the Equality of the Column and Row Rank of a Matrix. Mathematics Magazine, Vol. 68, No. 4

[4] Mirsky, Leonid. An introduction to linear algebra. Dover Publications. 1955. ISBN 978-0-486-66434-7.

[1]

[i]

[ii]

[2]

查论编线性代数的相关概念
重要概念	标量向量向量空间向量子空间线性生成空间线性映射投影线性无关线性组合基标记列空间行空间零空间对偶空间正交特征值特征向量数量积内积空间点乘转置格拉姆-施密特正交化线性方程组克莱姆法则
矩阵	矩阵矩阵乘法矩阵分解行列式子式和余子式矩阵的秩克莱姆法则逆矩阵高斯消元法线性变换分块矩阵
数值线性代数	浮点数数值稳定性基础线性代数程序集稀疏矩阵