余切 性质 奇偶性 奇 定义域
{
x
∈
R
|
x
≠
k
π
,
k
∈
Z
}
{\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} |x\neq k\pi ,\,k\in \mathbb {Z} \right\}}
{
x
∈
R
|
x
≠
180
∘
k
,
k
∈
Z
}
{\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} |x\neq 180^{\circ }k,\,k\in \mathbb {Z} \right\}}
到达域 (-∞,+∞) 周期
π
{\displaystyle \pi }
特定值 当x=0 N/A 当x=+∞ N/A 当x=-∞ N/A 最大值 +∞ 最小值 -∞ 其他性质 渐近线
x
=
k
π
{\displaystyle x=k\pi }
x=180°k 根
k
π
+
π
2
{\displaystyle k\pi +{\tfrac {\pi }{2}}}
180°k +90° 不动点 当x轴为弧度时： k是一个整数 。
余切 （英语：Cotangent ，一般记作
cot
{\displaystyle \cot }
三角函数 的一种，是正切 的余角函数。它的定义域 是整个不等于
k
π
{\displaystyle k\pi }
180°k
k
{\displaystyle k}
值域 是整个实数集。它是周期函数 ，其最小正周期为
π
{\displaystyle \pi }
奇函数 。
余切函数在各个小区间上单独看为单调递减 函数 ，和正切 互为倒数 ，其函数图形 和正切 函数图形 对称 于
π
4
{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}
奇点
k
π
{\displaystyle k\pi }
180°k
k
{\displaystyle k}
整数 。
符号说明 [ 编辑 ] 余切最早用符号tan.com表示，该符号同正切一样，最初由T.芬克使用。后来人们又逐渐将该符号简化为ctg，后来又改为cot，与现代符号完全相同。
直角三角形中 [ 编辑 ] 直角三角形，
∠
C
{\displaystyle \angle C}
∠
A
{\displaystyle \angle A}
θ
{\displaystyle \theta }
∠
A
{\displaystyle \angle A}
在直角三角形 中，一个锐角 的余切 定义为它的邻边与对边的比值 ，也就是：
cot
θ
=
b
a
{\displaystyle \cot \theta ={\frac {\mathrm {b} }{\mathrm {a} }}\,\!}
可以发现其定义和正切函数 互为倒数 。
直角坐标系中 [ 编辑 ] 设
α
{\displaystyle \alpha }
象限角 ，
P
(
x
,
y
)
{\displaystyle P\left({x,y}\right)}
r
=
x
2
+
y
2
>
0
{\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>0}
cot
α
=
x
y
{\displaystyle \cot \alpha ={\frac {x}{y}}}
单位圆定义 [ 编辑 ] 单位圆 图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向 的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点 的线 ，同 x 轴正半部分得到一个角
θ
{\displaystyle \theta }
y 。另原点为O 。做一直线，y 点，垂直于
O
y
¯
{\displaystyle {\overline {Oy}}}
交点 ，则此点与y 点之距离 为余切比 值。
单位圆 上的余切
单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度，产生斜边等于 1 的无限数目个三角形 的一种方式。
对于大于
2
π
{\displaystyle 2\pi }
−
2
π
{\displaystyle -2\pi }
三角函数 变成了周期为
2
π
{\displaystyle 2\pi }
周期函数 ；但由于余切是切线，再绕单位圆旋转时，会出现周期是
π
{\displaystyle \pi }
π
{\displaystyle \pi }
周期函数 :
cot
θ
=
cot
(
θ
+
π
k
)
=
cot
(
θ
+
180
∘
k
)
{\displaystyle \cot \theta =\cot \left(\theta +\pi k\right)=\cot \left(\theta +180^{\circ }k\right)}
对于任何角度
θ
{\displaystyle \theta }
整数
k
{\displaystyle k}
级数定义 [ 编辑 ] 余切函数也可以使用泰勒展开式 定义
cot
x
=
1
x
−
x
3
−
x
3
45
−
2
x
5
945
−
x
7
4725
−
2
x
9
93555
+
.
.
.
=
1
x
−
∑
n
=
1
∞
B
2
n
4
n
(
2
n
)
!
x
2
n
−
1
.
{\displaystyle \cot x={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}-{\frac {2x^{5}}{945}}-{\frac {x^{7}}{4725}}-{\frac {2x^{9}}{93555}}+...={\frac {1}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}}{(2n)!}}x^{2n-1}.}
其中
B
2
n
{\displaystyle B_{2n}}
伯努利数 。
另外，我们也有
cot
x
=
1
x
−
2
x
∑
n
=
1
∞
1
n
2
π
2
−
x
2
.
{\displaystyle \cot x={\frac {1}{x}}-2x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}\pi ^{2}-x^{2}}}.}
cot 的微分 是负 csc 的平方
cot
′
x
=
−
csc
2
x
{\displaystyle \cot 'x\ =-\csc ^{2}x}
另外
∫
cot
x
d
x
=
ln
(
sin
x
)
{\displaystyle \int \cot x\,dx=\ln(\sin x)}
所以可以用
cot
x
=
(
ln
(
sin
x
)
)
′
{\displaystyle \cot x=(\ln(\sin x))'\,}
cot
θ
=
i
(
e
i
θ
+
e
−
i
θ
)
e
i
θ
−
e
−
i
θ
{\displaystyle \cot \theta ={\frac {{\mathrm {i} }(e^{{\mathrm {i} }\theta }+e^{-{\mathrm {i} }\theta })}{e^{{\mathrm {i} }\theta }-e^{-{\mathrm {i} }\theta }}}\,}
恒等式 [ 编辑 ] 用其它三角函数来表示余切 [ 编辑 ]
函数
sin
{\displaystyle \sin }
cos
{\displaystyle \cos }
tan
{\displaystyle \tan }
cot
{\displaystyle \cot }
sec
{\displaystyle \sec }
csc
{\displaystyle \csc }
cot
θ
{\displaystyle \cot \theta }
1
−
sin
2
θ
sin
θ
{\displaystyle {{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }} \over \sin \theta }}
cos
θ
1
−
cos
2
θ
{\displaystyle {\cos \theta \over {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}}
1
tan
θ
{\displaystyle {1 \over \tan \theta }}
cot
θ
{\displaystyle \cot \theta \ }
1
sec
2
θ
−
1
{\displaystyle {1 \over {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}}
csc
2
θ
−
1
{\displaystyle {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}
和差角公式 [ 编辑 ]
cot
(
θ
±
ψ
)
=
cot
θ
cot
ψ
∓
1
cot
ψ
±
cot
θ
{\displaystyle \cot(\theta \pm \psi )={\frac {\cot \theta \cot \psi \mp 1}{\cot \psi \pm \cot \theta }}}
二倍角公式 [ 编辑 ]
cot
2
θ
=
cot
2
θ
−
1
2
cot
θ
=
1
cot
θ
−
1
−
1
cot
θ
+
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\cot 2\theta &={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}\\&={\frac {1}{\cot \theta -1}}-{\frac {1}{\cot \theta +1}}\\\end{aligned}}}
半角公式 [ 编辑 ]
cot
θ
2
=
csc
θ
+
cot
θ
=
±
1
+
cos
θ
1
−
cos
θ
=
sin
θ
1
−
cos
θ
=
1
+
cos
θ
sin
θ
=
cos
θ
−
sin
θ
+
1
cos
θ
+
sin
θ
−
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\cot {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta +\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {1+\cos \theta \over 1-\cos \theta }}\\&={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}\\&={\frac {1+\cos \theta }{\sin \theta }}\\&={\frac {\cos \theta -\sin \theta +1}{\cos \theta +\sin \theta -1}}\end{aligned}}}
三倍角公式 [ 编辑 ]
cot
3
θ
=
cot
3
θ
−
3
cot
θ
3
cot
2
θ
−
1
{\displaystyle \cot 3\theta ={\frac {\cot ^{3}\theta -3\cot \theta }{3\cot ^{2}\theta -1}}}
余切定理 [ 编辑 ] 一个三角形。它的三个内角及其对边。 余切定理 是三角学 中关于三角形 内切圆 半径的定理。
假设
α
{\displaystyle \alpha }
β
{\displaystyle \beta }
γ
{\displaystyle \gamma }
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
ζ
=
1
s
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
{\displaystyle \zeta ={\sqrt {{\frac {1}{s}}(s-a)(s-b)(s-c)}}}
s
=
a
+
b
+
c
2
{\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}
s
{\displaystyle s}
那么余切 定理告诉我们：[1]
cot
α
2
=
s
−
a
ζ
{\displaystyle \cot {\frac {\alpha }{2}}={\frac {s-a}{\zeta }}}
cot
β
2
=
s
−
b
ζ
{\displaystyle \cot {\frac {\beta }{2}}={\frac {s-b}{\zeta }}}
cot
γ
2
=
s
−
c
ζ
{\displaystyle \cot {\frac {\gamma }{2}}={\frac {s-c}{\zeta }}}
还有
cot
α
2
s
−
a
=
cot
β
2
s
−
b
=
cot
γ
2
s
−
c
.
{\displaystyle {\frac {\cot {\frac {\alpha }{2}}}{s-a}}={\frac {\cot {\frac {\beta }{2}}}{s-b}}={\frac {\cot {\frac {\gamma }{2}}}{s-c}}.}
总而言之：余切定理就是某个角一半的余切等于半周长减去这个角所对的边长再除以三角形的内切圆半径。
参考资料 [ 编辑 ]
^ The Universal Encyclopaedia of Mathematics, Pan Reference Books, 1976, page 530. English version George Allen and Unwin, 1964. Translated from the German version Meyers Rechenduden, 1960.
