算子

在數學領域裡，算子（operator）有別於物理的算符，是一種映射，一個向量空間的元素通過此映射（或模）在另一個向量空間（也有可能是相同的向量空間）中產生另一個元素。

算子對於線性代數和泛函分析都至關重要，它在純數學和應用數學的許多其他領域中都有應用。例如，在經典力學中，導數的使用無處不在，而在量子力學中，可觀察量由埃爾米特算子表示。各種算子可以具有包括線性、連續性和有界性等的重要性質。

定義

設U、V是兩個向量空間。從U到V的任意映射被稱為算子。令V是域K上的向量空間。我們可以定義包含所有從U到V算子的集合上的向量空間結構（A和B是算子）：

(A+B)\mathbf {x} :=A\mathbf {x} +B\mathbf {x}

，

(\alpha A)\mathbf {x} :=\alpha A\mathbf {x}

對所有A, B: U→V，x $\in$ U和α $\in$ K。

從一個向量空間到自身的算子構成一個辛結合代數：

(AB)\mathbf {x} :=A(B\mathbf {x} )

，

單位元素是恆等映射（通常記為E、I或id）。

有界算子和算子範數

令U和V是同一有序體（例如 $\mathbf {R}$ ）上的兩個賦範向量空間。從U到V的線性算子被稱為有界，如果存在C>0滿足

||A\mathbf {x} ||_{V}\leq C||\mathbf {x} ||_{U}

對所有x $\in$ U。

有界算子構成一個向量空間。在這個向量空間上，我們可以引入一個與U和V的範數相容的範數：

||A||=\inf\{C:||A\mathbf {x} ||_{V}\leq C||\mathbf {x} ||_{U}\}

。

對於從U到自身的算子有

||AB||\leq ||A||\cdot ||B||

。

任何具有這一性質的辛賦範代數被稱為Banach代數。可以將譜理論推廣到這樣的代數上。 C*-代數是具有一些附加結構的Banach代數，在量子力學中起重要作用。

特殊情形

泛函

泛函是將向量空間映射到其底域的算子。廣義函數理論和變分法是泛函的重要應用。兩者對理論物理都非常重要。

線性算子

線性算子是最常見的算子。設U和V是域K上的向量空間。算子A：U→V被稱為線性，如果

A(\alpha \mathbf {x} +\beta \mathbf {y} )=\alpha A\mathbf {x} +\beta A\mathbf {y}

對所有x、y $\in$ U和α、β $\in$ K。

線性算子的重要性在於它是向量空間之間的態射。

在有限維情形下，線性算子可以以下面的方式由矩陣表示。設 $K$ 是一個域， $U$ 和 $V$ 是 $K$ 上有限維向量空間。選擇一組基 $\mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{n}$ $U$ 上和一組基 $\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}$ 在 $V$ 上。令 $\mathbf {x} =x^{i}\mathbf {u} _{i}$ 為 $U$ 上的任意向量（假設有愛因斯坦求和約定），且有 $A:U\to V$ 是線性算子。則有

A\mathbf {x} =x^{i}A\mathbf {u} _{i}=x^{i}(A\mathbf {u} _{i})^{j}\mathbf {v} _{j}

。

所以有 $a_{i}^{j}:=(A\mathbf {u} _{i})^{j}\in K$ 是算子 $A$ 在固定基底下的矩陣表示。 $a_{i}^{j}$ 不依賴於 $x$ 的選取，且有 $A\mathbf {x} =\mathbf {y}$ 若且唯若 $a_{i}^{j}x^{i}=y^{j}$ 。因此在固定基底下的n×m矩陣一一映射到從 $U$ 到 $V$ 的線性算子。