單峰映象

單峰映象是種多項式映射，顯示了簡單非線性動力方程能帶來混沌的結果。這種映射因生物學家Robert May在1976年發表的一篇論文而著名。單峰映象原本被Pierre François Verhulst用作一個人口學模型，後來應用在物種受到限制因素之下的數目。這是根據兩個平常現象：

數學上可寫成 $x_{n+1} = r x_n (1-x_n)$ ，其中 $x_n$ 是介於0和1之間的數，表示在第 $n$ 年的物種數目。 $r$ 是正整數，是根據繁殖和餓死率而得出的數。

[编辑] r的值對結果的影響

不論x_0（開始數目）的大小，r的值：

0和1之間： $x_n$ 會越來越少，趨近0；
1和2之間：經過幾次迭代， $x_n$ 便為 $(r-1)/r$ ，穩定地發展；
2和3之間：經過幾次迭代， $x_n$ 也會越來越接近 $(r-1)/r$ ，但最初會在這個值左右振動，而這個趨近率是線性的；
3： $x_n$ 仍然會越來越接近 $(r-1)/r$ ，但趨近率极为缓慢，不是線性的；
3和1+√6（約3.45）之間： $x_n$ 會在2個值之間週期出現，即它可能循環地為a,b,a,b...一直下去。
約大於1+√6： $x_n$ 會在4个、8個、16個、32個值……之間出現，至於 $r$ 何時會令x_n的值由n個到2n個，則和費根鮑姆常數 $\delta=4.669...$ 有關。
約為3.57：這樣的振動消失，整個系統在混亂的狀態之中。不過，當中有些值還是有週期性的情形出現。例如當 $r$ 約大於3.82，會出現3個值的週期、6個的、12個的……亦有5個值、7個值的週期等，總之所有週期都可以出現。
大於4：系統将逐渐抛离区间[0,1]，并发散。

這些情況可用分枝圖表示：

分枝圖是一個碎形。