挠率张量

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沿着测地线的挠率

微分几何中,挠率概念是刻画沿着曲线移动的标架的扭曲或螺旋的方法。例如曲线的挠率,出现在弗莱纳公式中,量化了一条曲线变化时关于它的切向量的扭曲程度(更确切的说弗莱纳标架关于切向量的旋转)。在曲面的几何中,“测地挠率”描述了曲面关于曲面上一条曲线的扭曲。相伴的曲率概念度量了沿着曲线的活动标架“没有扭曲的转动”。

更一般地,在装备一个仿射联络(即切丛的一个联络)的微分流形上,挠率与曲率构成了联络的两个基本不变量。在这种意义下,挠率给出了切空间关于一条曲线平行移动怎样扭曲的内蕴刻画;而曲率描述了切空间沿着曲线怎样旋转。挠率可具体的描述为一个张量,或一个向量值2-形式。如果 ∇ 是微分流形上一个联络,那么挠率张量用向量场 XY 表示定义为:

T(X,Y) = \nabla_XY-\nabla_YX - [X,Y]

这里 [X,Y] 是向量场的李括号

挠率在测地线几何的研究特别重要。给定一个参数化测地线系统,我们一定指定一族仿射联络具有这些测地线,但是具有不同的挠率。具有惟一“吸收挠率”的联络,将列维-奇维塔联络推广到其他,也许没有度量的情形(比如芬斯勒几何)。吸收挠率在G-结构嘉当等价方法的研究中也起着重要的作用。挠率通过关联的射影联络在研究测地线非参数族也很有用。在相对论中,这种想法以爱因斯坦-嘉当理论的形式提供了工具。

挠率张量[编辑]

M 是切丛上带有联络 ∇ 的流形。挠率张量(有时也称为嘉当(挠率)张量)是一个向量值 2-形式,定义在向量场 XY

T(X, Y) := \nabla_X Y - \nabla_Y X - [X,Y]\ ,

这里 [X,Y] 是两个向量场的李括号。由莱布尼兹法则,对任何光滑函数 fT(fX,Y) = T(X,fY) = fT(X,Y)。所以 T 是一个张量,尽管是用非张量的共变导数定义的:它给出了切向量上的一个 2 形式,但共变导数只对向量场有定义。

曲率和比安基恒等式[编辑]

联络 ∇ 的曲率张量是一个映射 TM ∧ TM → End(TM) ,定义在向量场 X, Y, 与 Z

R(X,Y)Z = \nabla_X\nabla_YZ - \nabla_Y\nabla_XZ - \nabla_{[X,Y]}Z\ .

注意,对位于一点的向量,这个定义与这个向量如何扩张成一个向量场的方式无关(即定义了一个张量,类似于挠率)。

比安基恒等式联系了曲率和挠率。[1]X, YZ循环求和记为 \mathfrak{S},例如

\mathfrak{S}\left(R(X,Y)Z\right) := R(X,Y)Z + R(Y,Z)X + R(Z,X)Y\ .

那么下面的公式成立

1. 比安基第一恒等式

\mathfrak{S}\left(R(X,Y)Z\right) = \mathfrak{S}\left(T(T(X,Y),Z)+(\nabla_XT)(Y,Z)\right)\ ,

2. 比安基第二恒等式

\mathfrak{S}\left((\nabla_XR)(Y,Z)+R(T(X,Y),Z)\right)=0\ .

挠率张量的分量[编辑]

挠率张量在切丛的局部截面 (e1, ..., en) 下可写成分量  T^c{}_{ab} 。令 X=eiY=ej,引入交换子系数 γkijek := [ei,ej]。那么挠率的分量是

 T^k{}_{ij} := \Gamma^k{}_{ij} - \Gamma^k{}_{ji}-\gamma^k{}_{ij},\quad i,j,k=1,2,\ldots,n.

如果基是和乐的,则李括号变为零,\gamma^k{}_{ij}=0,从而 T^k{}_{ij}=2\Gamma^k{}_{[ij]}。特别地(见下),测地线方程确定联络的对称部分,而挠率张量确定反对称部分。

挠率形式[编辑]

挠率形式,是挠率的另一种刻画,适用于 M标架丛 FM。这个主丛装备有一个联络形式 ω,一个 gl(n)-值的 1-形式将竖直向量映到 gl(n) 中的右作用的生成元,且通过在 gl(n) 上的伴随表示等变纠缠于 GL(n) 在 FM 的切丛上的右作用。标架丛也带有一个典范 1 形式 θ,取值于 Rn,定义在标架 u ∈ FxM(视为一个线性函数 u : Rn → TxM)为

\theta(X) = u^{-1}(d\pi(X))

这里 π : FMM 是主丛的投影映射。那么挠率形式是

\Theta = d\theta + \omega\wedge\theta\ .

等价地, Θ = Dθ,这里 D 是由联络确定的外共变导数

挠率形式是一个取值于 Rn的(水平)扭曲形式,意味着在 g ∈ Gl(n) 的右作用下等变:

R_g^*\Theta = g^{-1}\cdot\Theta\ ,

这里 g 通过它在 Rn 上的基本表示作用在左边。

曲率形式与比安基恒等式[编辑]

曲率形式gl(n)-值 2-形式

\Omega = D\omega = d\omega + \omega\wedge\omega\ .

这里,D 同样表示外共变导数。用曲率形式和挠率形式表示,相应的比安基恒等式为: [2]

  1. D\Theta = \Omega\wedge\theta
  2. D\Omega = 0.\,

进一步,我们可以从曲率形式和挠率形式复原曲率和挠率。在 FxM 中的点 u,我们有[3]

R(X,Y)Z = u\left(2\Omega(\pi^{-1}(X),\pi^{-1}(Y))\right)(u^{-1}(Z)),
T(X,Y) = u\left(2\Theta(\pi^{-1}(X),\pi^{-1}(Y))\right),

这里 u : Rn → TxM 是确定纤维中标架的函数,且向量通过 π-1 的提升与选取无关,因为曲率和挠率形式是水平的(它们在不确定的竖直向量上为 0)。

标架中的曲率形式[编辑]

挠率形式可用底流形 M 上的联络形式,在切丛的一个特殊的标架 (e1,...,en) 下写出。联络形式表述这些截面的外共变导数

D{\mathbf e}_i = \sum_{j=1}^n {\mathbf e}_j\omega_i^j\ .

切丛的焊接形式(关于这个标架)是 ei对偶基 θi ∈ T*M,所以 θi(ej) = δij克罗内克函数

那么挠率 2-形式有分量

\Theta^k = d\theta^k + \sum_{j=1}^n\omega^k_j\wedge\theta^j = \sum_{i,j}T_{ij}^k \theta^i\wedge\theta^j\ .

在最右边的表达式中,

T_{ij}^k = \theta^k(\nabla_{\mathbf e_i}\mathbf e_j - \nabla_{\mathbf e_j}\mathbf e_i - [\mathbf e_i,\mathbf e_j])

是挠率张量的标架分量,由首先的定义给出。

容易证明 Θi 像张量一个变化:如果另一个标架

\tilde{\mathbf e}_i = \sum_j \mathbf e_j g_i^j

对某个可逆矩阵值函数 (gij),那么

\tilde{\Theta}^i = (g^{-1})^i_j\Theta^j.

换句话说,Θ 是 (1,2) 型张量(一个反变、两个共变指标)。

做为另一种选择,焊接形式能用无标架形式刻画为 M 上的 TM-值 1形式θ,在对偶同构 End(TM) ≈ TM ⊗ T*M 下对应于切丛的恒等同态。则挠率 2-形式是

\Theta\in\text{Hom}(\wedge^2 TM, TM)

的一个截面,由

\Theta = D\theta\ ,

给出。这里 D外共变导数(更多细节参见联络形式)。

不可约分解[编辑]

挠率张量可以分解为两个不可约部分:不含的部分与包含迹的部分。用指标记法T 的迹为

a_i = T^k_{ik}\ ,

不含迹的部分为

B^i_{jk} = T^i_{jk} + \frac{1}{n-1}\delta^i_ja_k-\frac{1}{n-1}\delta^i_ka_j

这里 δij克罗内克函数

本质上有,

T\in \operatorname{Hom}\left(\wedge^2 TM, TM\right)\ .

T 的迹 tr T,是如下定义的 T*M 中一个元素。对固定的任何向量X ∈ TMT 定义了一个 Hom(TM, TM) 中一个元素 T(X),通过

T(X) : Y \mapsto T(X\wedge Y)\ .

那么 (tr T)(X) 定义为这个同态的迹。这就是,

(\operatorname{tr}\, T)(X) \stackrel{\text{def}}{=}\operatorname{tr} (T(X))\ .

T 不含迹的部分为

T_0 = T - \frac{1}{n-1}\iota(\operatorname{tr} \,T)

这里 ι 表示内乘

作为比安基恒等式的推论,1-形式 tr T 是一个 1-形式:

d(\operatorname{tr}\, T) = 0\ ,

这里 d外导数

特征描述与解释[编辑]

这一节中总是假设:M微分流形,∇ 是 M 切丛上的共变导数除非另外指明。

仿射进化[编辑]

假设 xtM 上一条曲线。xt仿射进化development)定义为 Tx0M 中惟一的曲线 Ct 使得

\dot{C}_t = \tau_t^0\dot{x}_t,\quad C_0 = 0

这里

\tau_t^0 : T_{x_t}M \to T_{x_0}M

是与 ∇ 关联的平行移动

特别地,如果 xt 是一个闭环路,则 Ct 是否闭取决于联络的挠率。从而挠率解释为曲线的 development 的螺位错。这样,挠率与联络的和乐转移分量联系起来。相伴的曲率概念描绘了无穷小线性变换(在黎曼联络情形或为旋转)。

参考标架的扭曲[编辑]

在经典曲线的微分几何中,弗莱纳公式描述了一个特别的活动标架(弗莱纳标架)沿着一条曲线怎样“扭曲”。用物理语言,挠率对应于一个假想的沿着曲线的陀螺角动量

带有(度量)联络的流形可类比地解释。假设一个观察者沿着这个联络下的测地线移动。这个观察者通常认为自己是在惯性参考系中,因为她没有经历过加速度。另外假设观察者携带着一个刚性直测量杆系统(一个坐标系)。每根杆都是直线段,一条测地线。假设每根杆沿着轨道都是平行移动,这些杆是沿着轨迹物理的“携带”的事实意味着是“拖曳”或传播,所以沿着切向量每根杆子的李导数为零。类似于弗莱纳标架上的陀螺,它们可能经受力矩(或扭力)。这个力便由挠率衡量。

更准确地,假设观察者沿着测地线 γ(t) 移动,携带着一个测量杆。当观察者移动时,杆子扫过一个曲面。沿着这个曲面有一个自然坐标系 (t,x),这里 t 是由观察者确定的时间参数,x 是沿着测量杆的长度。测量杆须沿着曲线平行移动的条件为

\left.\nabla_{\partial/\partial \tau}\frac{\partial}{\partial x}\right|_{x=0} = 0.

从而,挠率由

\left.T\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial \tau}\right)\right|_{x=0} = \left.\nabla_{\frac{\partial}{\partial x}}\frac{\partial}{\partial \tau}\right|_{x=0}.

给出。如果不是零,则杆上标出的这点(点 x =  常曲线)的轨迹为螺旋而不是测地线。它们将绕着观察者旋转。

这种挠率的解释在平行引力理论中扮演着重要的角色。平行引力理论,也称为爱因斯坦-嘉当理论,是相对论的一种替代性表述。

纤维的挠率[编辑]

材料科学中,特别是弹性理论,挠率的想法也扮演着重要的角色。其中一个问题[4]生长的建模,专注于藤如何能绕着对象缠绕。藤自身模型化为一对相互缠绕的弹性纤维。在其能量极小状态,藤自然生长成一个螺旋状。但是藤也有可能伸长以达到广度(或长度)最大化。在此情形,藤的挠率与这对纤维的挠率有关(或等价地,链接两条纤维的带子的曲面挠率),这反映了藤的长度最大化(测地线)布局与能量最小化布局之间的差异。

挠率与涡旋[编辑]

流体力学中,挠率自然与涡线相关。

测地线与挠率的吸收[编辑]

假设 γ(t) 是 M 上一条曲线。则 γ 是一条仿射参数化测地线如果

\nabla_{\dot{\gamma}(t)}\dot{\gamma}(t) = 0

对属于 γ的定义域中所有时间 t(这里点表示关于 t 求导,得到了 γ(t) 处切向量 \dot{\gamma}(t))。每条测地线由初始 t=0 切向量\dot{\gamma}(0) 惟一确定。

联络的挠率的一个运用涉及到联络的测地波浪geodesic spray):粗略地讲为所有仿射参数化测地线。

用测地波浪将联络分类时,不同挠率不能区分开来:

  • 两个联络 ∇ 与 ∇′ 具有相同的仿射参数化测地线(即相同的测地波浪),只在挠率有区别。[5]

更准确地,如果 XYpM的一对切向量,那么令

\Delta(X,Y)=\nabla_X\tilde{Y}-\nabla'_X\tilde{Y}

是两个联络的差,用 XYp 处的任意扩张计算。由莱布尼兹乘积法则,我们看出 Δ 事实上与 XY 如何扩张无关(所以定义了 M 上一个张量)。设 SA 分别为 Δ 的对称与交替部分:

S(X,Y)=\tfrac12\left(\Delta(X,Y)+\Delta(Y,X)\right)
A(X,Y)=\tfrac12\left(\Delta(X,Y)-\Delta(Y,X)\right)

  • A(X,Y) = \tfrac12\left(T(X,Y) - T'(X,Y)\right) 是挠率张量之差。
  • ∇ 与 ∇′ 定义了相同的仿射参数化测地线族当且仅当 S(X,Y) = 0。

换句话说,两个联络之差的对称部分决定了它们是否具有相同的参数化测地线,然而差的斜对称部分由这两个联络的相对挠率决定。另一个推论是

  • 给定任何仿射联络 ∇,存在惟一一个无挠联络 ∇′ 具有共同的仿射参数化测地线。

这是黎曼几何基本定理到(也许无度量)仿射联络的一个推广。选出从属于一族参数化测地线惟一的联络也称为挠率的吸收,这是嘉当等价方法的一个使用之处。

另见[编辑]

注释[编辑]

  1. ^ See Kobayashi-Nomizu (1996) Volume 1, Proposition III.5.2.
  2. ^ Kobayashi-Nomizu (1996) Volume 1, III.2.
  3. ^ Kobayashi-Nomizu (1996) Volume 1, III.5.
  4. ^ Goriely et al (2006).
  5. ^ See Spivak (1999) Volume II, Addendum 1 to Chapter 6. See also Bishop and Goldberg (1980), section 5.10.

参考文献[编辑]