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阿列夫數

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圓周率  = 3.141592653…
自然對數的底  = 2.718281828…
虛數單位  = 
無窮大

集合論中,阿列夫数,又稱艾礼富数,是一連串超窮基數。其標記符號為 ℵ (由希伯來字母א‎(aleph)演變而來)加角標表示。

可數集(包括自然數)的勢標記為,下一個較大的勢為,再下一個是,以此類推。一直繼續下來,便可以對任一序數 α 定義一個基數

這一概念來自於康托尔,他定義了,並认识到无穷集合是可以有不同的勢的。

阿列夫數与一般在代數與微積分中出現的無限 () 不同。阿列夫數用来衡量集合的大小,而無限只是在極限的寫法中出現,或是定義成擴展的實數軸上的端點。某些阿列夫數會大於另一些阿列夫數,而無限只是無限而已。

構造性定義[编辑]

阿列夫數的直觀定義並沒有解釋什麽叫“下一個較大的勢”,也沒有證明是否存在“下一個較大的勢”。即便承認對任意的基數都存在更大的基數,是否存在“下一個較大的勢”使得這個基數和“下一個較大的基數”之間不再有其他的基數仍然是個問題。下面的構造型定義解決這個問題:[1]:28

  • 0定義從前,它是一個良序集的序數;
  • 考慮良序集[1]:25按照某种同構關係[注 1]划出的等價類[1]:18[注 2]
    • 如上定義的等價類有一個特點:可比較[1]:25
  • 設ℵa已定義且是一良序集的基數,考慮:
    1. 由於ℵa是某良序集的基數,這個良序集必存在于某個等價類中;一定還有其他基數爲ℵa的良序集,這些良序集必將也存在于某個等價類中(可能與上面的同屬同一個等價類,但不一定)。所有這些等價類[注 3]將做成一集,記爲Z(ℵa)。
    2. Z(ℵa)也是良序集。[1]:27
    3. 定義ℵa+1:= card(Z(ℵa)),它是一個良序集的基數。

數“阿列夫”[编辑]

在中國大陸,實數集的基數常被記爲c ℵ,卽 ℵ := ℶ₁,這樣連續統假設就常常被表述爲 ℵ = ℵ₁.閲讀相關讀物時應避免混淆。人們在學數學分析微積分)時常常以爲自己時常遇到的是阿列夫数,事實上他們遇到的是 “”或“c”,卽角標爲1的 ℶ 。除非討論集合論,否則阿列夫数將是最不常用的基數之一。

另見[编辑]

註釋[编辑]

  1. ^ 卽……
  2. ^ 如果把這樣定義的等價類看成該集合莫須有的“末元素”的話,就把它叫做序數
  3. ^ 基於前面所說的此類等價類的一些性質,這些等價類(或序數)……

參考文獻[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 陳建功. 實函數論. 北京: 科學出版社. 1958.9. CSBN 13031·41. 

外部連結[编辑]