循环小数,是從小數部分的某一位起,一個數字或幾個數字,依次不斷地重複出現的小數。可分为有限循环小数和无限循环小数。
定義
循環小數都為有理數的小數表示形式,例:
性质
- 一个分母为N的循环小数的循环节位数最多不超过N-1位。
- 根據分數的情況分開討論
- 1.除数a为的倍數时,有max(m,n)个不循环位数,其中為任意自然數,為非之其他數。
- 2.如果,a不是2或5的倍数,並且a與b互質,那麼存在一個正整數e,e為的循環節位數,而e=。[1]
- 表示可以整除a,或稱與1同餘)
- 事實上以該參考文獻的定理一公式推導式子:來看,也成立,例如與,兩者循環小數一致,因為,只差別在商,餘數皆為1(同餘)故成立。
- 3.承接以上兩點,當除数a可以質因數標準分解式表示成⋯時,會有max(m,n)個不循環位數,和個循環節位數。
- 其中,, ,⋯,分別各有e1,e2,...,en個循環節位數,存在一個最小公倍數e1,e2,...,en。
- 例:的循環節個數?
- 答:前三位不循環(2 和 5 的最高次方為 3),循環節個數是 48(因為的循環節位數為1,7的循環節位數為6,17的循環節位數為16,[1,6,16]=48)[2]
化為分數的方法
- 先看有幾位「非循環節位數()」和「循環節位數()」,算出後,將擺於「分母」。
- 「分子」則是將「非循環節部分」和「循環節部分」併為一個數字,將其減去「非循環節部分」,即,詳細公式如下。
- 公式:
- 原理:
- 令。
- 則──①式。
- ──②式。
- ②-①⇒。
- 。
- 範例:。
- 令
- 則、
- 兩式相減得,
- ∴。
计算方法
利用短除法可以将分数(有理数,)转化为循环小数。
例如可以用短除法计算如下:
7|3.00000000000000000
0.42857142857142857...
表示方法
在不同的国家地区对循环小数有不同的表示习惯。
缺点
不唯一性
使用循环小数表示有理数的缺点在于表示方式的不唯一性,例如
与進位制系統密切相关
由于循环小数与進位制系統密切相关,使得一些简单的有理数在循环小数表示法中的表示形式相当复杂。如
但在某些进位制当中反而因为循环节较短,使得看起来相当简单。如
参考资料
- ^ 康明昌. 循環小數 (PDF). 數學傳播. 2001年9月, 25 (3) [2014-12-28].
- ^ 質數循環節的位數 (PDF).
參見
外部連結