已知最大質數
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已知最大質數(截至2021年9月[update])為282,589,933 − 1,十進制時有24,862,048位數,由互聯網梅森素數大搜索(GIMPS)的志願者派翠克·拉羅次(Patrick Laroche)於2018年發現[1]。
質數,又名素數,是一個除1與自身之外沒有其他因數的正整數。歐幾里得定理說明質數沒有上限,不少數學家與嗜好者故一直尋找大質數。
不少大質數為梅森素數,定義為2的冪減去1的正整數。截至2018年12月[update],首八個已知大質數皆為梅森素數[2]。近十七次最大質數紀錄皆為梅森素數[3][4]。所有梅森素數的二進制表示中,所有數字皆為1[5]。
盧卡斯-萊默檢驗法的快速傅里葉變換比起其他方式能更快速尋找到梅森素數。
現時紀錄
[編輯]已知最大質數為282,589,933 − 1,共有24,862,048位數,由互聯網梅森素數大搜索於2018年12月發現[1]。其數值為:
148894445742041325547806458472397916603026273992795324185271289425213239361064475310309971132180337174752834401423587560 ...
(省略24,861,808位數)
... 062107557947958297531595208807192693676521782184472526640076912114355308311969487633766457823695074037951210325217902591[6]
上面只顯示首尾各120位數。
獎金
[編輯]互聯網梅森素數大搜索現為下載其軟件並成功尋找新梅森素數的參與者提供3,000美元獎金,該梅森素數的數位應少於一億位。
電子前哨基金會亦為大質數的找尋設立了數個獎項[7],互聯網梅森素數大搜索亦有協調一億數位以上的質數搜索,並與成功尋找者分享電子前哨基金會所提供的150,000元美金獎金。
1999年發現首個超過一百萬數位的質數,並取得50,000美元獎金[8]。2008年發現了超過一千萬數位的質數,並取得100,000美元獎金[7]。時代雜誌稱之為2008年第29名最佳發現[9]兩項獎金皆為互聯網梅森素數大搜索的參加者。電子前哨基金會現為首個一億及十億數位的質數提供獎金[7]。
已知最大質數歷史
[編輯]下表列出已知最大質數沿革,並按時序排列[3]。此處Mn = 2n − 1,為2的n次方。時間最長的紀錄保持者為M19 = 524,287,為已知最大質數共計144年。1456年之前未存有關最大質數的紀錄。
數字 | 數字展開 (僅限小於M5000的數字) |
數位 | 發現年份 | 發現者 |
---|---|---|---|---|
M13 | 8,191 | 4 | 1456 | 佚名 |
M17 | 131,071 | 6 | 1588 | 伯多祿·卡塔迪 |
M19 | 524,287 | 6 | 1588 | 伯多祿·卡塔迪 |
6,700,417 | 7 | 1732 | 萊昂哈德·歐拉 歐拉並未正式發表此數,但他於232 + 1的因式分解中已完成此質數的大部分證明過程,故部分專家認為歐拉知道此為質數[10] | |
M31 | 2147483647 | 10 | 1772 | 萊昂哈德·歐拉 |
67,280,421,310,721 | 14 | 1855 | 湯馬斯·克勞森 | |
M127 | 170,141,183,460,469, |
39 | 1876 | 愛德華·盧卡斯 |
20,988,936,657,440, |
44 | 1951 | Aimé Ferrier 使用機械計算機發現,非使用電腦發現的最大質數 | |
180×(M127)2+1 | 521064401567922879406069432539 |
79 | 1951 | J. C. P.米勒與大衛·惠勒[11] 使用劍橋大學的EDSAC電腦 |
M521 | 686479766013060971498190079908 |
157 | 1952 | |
M607 | 531137992816767098689588206552 |
183 | 1952 | |
M1279 | 104079321946...703168729087 | 386 | 1952 | |
M2203 | 147597991521...686697771007 | 664 | 1952 | |
M2281 | 446087557183...418132836351 | 687 | 1952 | |
M3217 | 259117086013...362909315071 | 969 | 1957 | |
M4423 | 285542542228...902608580607 | 1,332 | 1961 | |
M9689 | 478220278805...826225754111 | 2,917 | 1963 | |
M9941 | 346088282490...883789463551 | 2,993 | 1963 | |
M11213 | 281411201369...087696392191 | 3,376 | 1963 | |
M19937 | 431542479738...030968041471 | 6,002 | 1971 | |
M21701 | 448679166119...353511882751 | 6,533 | 1978 | |
M23209 | 402874115778...523779264511 | 6,987 | 1979 | |
M44497 | 13,395 | 1979 | 854509824303...961011228671 | |
M86243 | 25,962 | 1982 | 536927995502...709433438207 | |
M132049 | 39,751 | 1983 | ||
M216091 | 65,050 | 1985 | ||
391581×2216193−1 | 65,087 | 1989 | 群組發現,包括約翰·布朗、藍登·克特·諾爾、B. K. 柏拉狄、哲恩·史密夫、喬爾·史密夫、沙治奧[12][13],為已知最大質數歷史中最大的非梅森素數。 | |
M756839 | 227,832 | 1992 | ||
M859433 | 258,716 | 1994 | ||
M1257787 | 378,632 | 1996 | ||
M1398269 | 420,921 | 1996 | 互聯網梅森素數大搜索,喬爾·阿孟較得 | |
M2976221 | 895,932 | 1997 | 互聯網梅森素數大搜索,戈登·斯彭斯 | |
M3021377 | 909,526 | 1998 | 互聯網梅森素數大搜索,羅蘭·克拉克森 | |
M6972593 | 2,098,960 | 1999 | 互聯網梅森素數大搜索,拿恩·哈拉華拉 | |
M13466917 | 4,053,946 | 2001 | 互聯網梅森素數大搜索,米高·卡梅倫 | |
M20996011 | 6,320,430 | 2003 | 互聯網梅森素數大搜索,米高·沙夫 | |
M24036583 | 7,235,733 | 2004 | 互聯網梅森素數大搜索,喬許·芬德利 | |
M25964951 | 7,816,230 | 2005 | 互聯網梅森素數大搜索,馬田·諾或 | |
M30402457 | 9,152,052 | 2005 | 互聯網梅森素數大搜索,柯蒂斯·庫珀與史提夫·布恩 | |
M32582657 | 9,808,358 | 2006 | 互聯網梅森素數大搜索,柯蒂斯·庫珀與史提夫·布恩 | |
M43112609 | 12,978,189 | 2008 | 互聯網梅森素數大搜索,埃德森·史密夫 | |
M57885161 | 17,425,170 | 2013 | 互聯網梅森素數大搜索,柯蒂斯·庫珀 | |
M74207281 | 22,338,618 | 2016 | 互聯網梅森素數大搜索,柯蒂斯·庫珀 | |
M77232917 | 23,249,425 | 2017 | 互聯網梅森素數大搜索,強納森·佩斯 | |
M82589933 | 24,862,048 | 2018 | 互聯網梅森素數大搜索,派翠克·拉羅次 |
互聯網梅森素數大搜索發現了近十五個最大質數紀錄。
二十大已知質數
[編輯]克里斯·科德韋爾設有一列表,內共有已知最大的五千個質數[14][15],其中最大二十個列於下表。
排名 | 數字 | 發現日期 | 數位 | 參考資料 |
---|---|---|---|---|
1 | 282589933 − 1 | 2018-12-07 | 24,862,048 | [1] |
2 | 277232917 − 1 | 2017-12-26 | 23,249,425 | [16] |
3 | 274207281 − 1 | 2016-01-07 | 22,338,618 | [17] |
4 | 257885161 − 1 | 2013-01-25 | 17,425,170 | [18] |
5 | 243112609 − 1 | 2008-08-23 | 12,978,189 | [19] |
6 | 242643801 − 1 | 2009-06-04 | 12,837,064 | [20] |
7 | 237156667 − 1 | 2008-09-06 | 11,185,272 | [19] |
8 | 232582657 − 1 | 2006-09-04 | 9,808,358 | [21] |
9 | 10223 × 231172165 + 1 | 2016-10-31 | 9,383,761 | [22] |
10 | 230402457 − 1 | 2005-12-15 | 9,152,052 | [23] |
11 | 225964951 − 1 | 2005-02-18 | 7,816,230 | [24] |
12 | 224036583 − 1 | 2004-05-15 | 7,235,733 | [25] |
13 | 220996011 − 1 | 2003-11-17 | 6,320,430 | [26] |
14 | 10590941048576 + 1 | 2018-10-31 | 6,317,602 | [27] |
15 | 9194441048576 + 1 | 2017-08-29 | 6,253,210 | [28] |
16 | 168451 × 219375200 + 1 | 2017-09-17 | 5,832,522 | [29] |
17 | 1234471048576 − 123447524288 + 1 | 2017-02-23 | 5,338,805 | [30] |
18 | 7 × 66772401 + 1 | 2019-09-09 | 5,269,954 | [31] |
19 | 8508301 × 217016603 − 1 | 2018-03-21 | 5,122,515 | [32] |
20 | 6962 × 312863120 − 1 | 2020-02-29 | 4,269,952 | [33] |
參見
[編輯]參考資料
[編輯]- ^ 1.0 1.1 1.2 GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 282,589,933-1. Mersenne Research, Inc. 2018-12-21 [2018-12-21]. (原始內容存檔於2020-08-15).
- ^ Caldwell, Chris. The largest known primes - Database Search Output. Prime Pages. [2018-06-03]. (原始內容存檔於2021-03-12).
- ^ 3.0 3.1 Caldwell, Chris. The Largest Known Prime by Year: A Brief History. Prime Pages. [2016-01-20]. (原始內容存檔於2013-08-19).
- ^ 最後一個非梅森素數為391,581 ⋅ 2216,193 − 1 (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館);參見The Largest Known Prime by Year: A Brief History (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館),Caldwell着
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An interesting side note is about the binary representations of those numbers...
- ^ 存档副本. [2020-07-30]. (原始內容存檔於2020-08-15).
- ^ 7.0 7.1 7.2 Record 12-Million-Digit Prime Number Nets $100,000 Prize. Electronic Frontier Foundation. 電子前哨基金會. 2009-10-14 [2011-11-26]. (原始內容存檔於2011-08-05).
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- ^ GIMPS Discovers 41st Mersenne Prime, 224,036,583-1 is now the Largest Known Prime.. mersenne.org. 互聯網梅森素數大搜索. 2004-05-28 [2017-09-29]. (原始內容存檔於2021-01-29).
- ^ GIMPS Discovers 40th Mersenne Prime, 220,996,011-1 is now the Largest Known Prime.. mersenne.org. 互聯網梅森素數大搜索. 2003-12-02 [2017-09-29]. (原始內容存檔於2020-06-07).
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- ^ The Prime Database: Phi(3,-123447^524288). primes.utm.edu. The Prime Pages. [2017-09-30]. (原始內容存檔於2021-01-21).
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- ^ The Prime Database: 6962*31^2863120-1. primes.utm.edu. The Prime Pages. [2020-04-06]. (原始內容存檔於2021-01-21).
外部連結
[編輯]- Press release about the largest known prime 282,589,933−1 (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)
- Press release about the former largest known prime 277,232,917−1 (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)
- Press release about the former largest known prime 274,207,281−1 (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)
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