A是B的子集,B是A的超集。
子集(英語:subset)亦稱部分集合,為某集合中部分元素的集合;關係相反時則稱作父集、母集、超集。子集與父集的關係被稱為「包含」。
如果集合A的任意一個元素都是集合B的元素(任意 a∈A,則 a∈B),那麼集合A稱為集合B的子集,記為
或
,讀作「集合A包含於集合B」或「集合B包含集合A」。
即:
,有
,則
。
若
和
為集合,且
的所有元素都是
的元素,則可表示為:
是
的子集(或稱
包含於
);![{\displaystyle A\subseteq B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b09068bd2f7ba899aeb883ebe670b2ad07b0c851)
是
的父集/超集(或稱
包含
);![{\displaystyle B\supseteq A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2fd7d8e0fa00d29c0d6a35ab2c3d4cd636bd136)
任何集合
皆是本身的子集(
)。而
的子集中不等於
的集合,稱為真子集,若
是
的真子集,寫作
。
假設有
和
兩個集合,如果
中的每個元素都是
的元素,則:
是
的子集,記作 ![{\displaystyle A\subseteq B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b09068bd2f7ba899aeb883ebe670b2ad07b0c851)
- 也可以說
是
的超集,記作 ![{\displaystyle B\supseteq A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2fd7d8e0fa00d29c0d6a35ab2c3d4cd636bd136)
如果
是
的子集,但
不等於
(即
中至少存在一個元素不在
集合中),則:
是
的真子集,記作 ![{\displaystyle A\subsetneqq B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76b5046c0f318612eb9edecaa531d6360fea5c9e)
- 也可以說
是
的真超集,記作 ![{\displaystyle B\supsetneqq A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddf40bf522816cc5d343735604817625b45363ad)
ISO 80000-2 標準中定義了兩種符號搭配:[1]
表示子集關係,
表示真子集關係。使用的作品如[2][3][4]
表示子集關係,
表示真子集關係。使用的作品如[5]:p.6
- 集合
是集合
的真子集。
- 自然數集合是有理數集合的真子集。
- 集合
是大於2000的素數
是集合
是大於1000的奇數
的真子集。
- 任意集合是其自身的子集,但不是真子集。
- 空集,寫作
,是任意集合
的子集。空集總是其他集合的真子集,除了其自身。
A是B的子集。
命題1:空集是任意集合的子集。
這個命題說明:包含是一種偏序關係。
命題2:若
是集合,則:
- 自反性:
![{\displaystyle A\subseteq A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1ce5093be9e30238b83393aed738eafd3a43030)
- 反對稱性:
且
當且僅當![{\displaystyle A=B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/045cafe35b1e9c9ac889481fd7178d6f59a77fdb)
- 傳遞性:
- 若
且
則![{\displaystyle A\subseteq C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c52a0a9fb646e916904c85763d980be597191ad2)
這個命題說明:對任意集合
,
的冪集按包含排序是一個有界格,與上述命題相結合,則它是一個布爾代數。
命題3:若
是集合
的子集,則:
- 存在一個最小元和一個最大元:
(
由命題1給出)
- 存在並運算:
![{\displaystyle A\subseteq A\cup B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcf7730ac2d5e58ce8fb4ded84055998a1ac6d89)
- 若
且
則![{\displaystyle A\cup B\subseteq C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cdb1727a9bbdd71e93d93c8ac77260b8ac163c8)
- 存在交運算:
![{\displaystyle A\cap B\subseteq A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7bd25ce29ca352002ab4f7e70da86f7221ef33e)
- 若
且
則 ![{\displaystyle C\subseteq A\cap B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69112de8c5e892fa37c6461132bf0f6eb68abd67)
命題4:對任意兩個集合
和
,下列表述等價:
![{\displaystyle A\subseteq B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b09068bd2f7ba899aeb883ebe670b2ad07b0c851)
![{\displaystyle A\cap B=A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6cd897334b251544a95c9f7d226eeabba68c100)
![{\displaystyle A\cup B=B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb61f2348c407083f1d6a215173298bc13b5824a)
![{\displaystyle A-B=\varnothing }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24da4fae72f6d05c5b4db3b89a19bc5286e3ed16)
![{\displaystyle B'\subseteq A'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/308d13b73acc8f790a6b5cf92e7817993ed6d2d2)
這個命題說明:表述"
",和其他使用併集,交集和補集的表述是等價的,即包含關係在公理體系中是多餘的。
- ^ ISO 80000-2:2019 Quantities and units — Part 2: Mathematics ISO 80000-2:2019 Quantities and units — Part 2: Mathematics. ISO. 2019-08 [2023-7-24]. (原始內容存檔於2023-03-13) (英語).
- ^ 離散數學-第三章, [2012-09-07], (原始內容存檔於2012-07-03)
- ^ 剑桥大学国际考试院IGCSE数学考纲 (PDF), [2015-03-14], (原始內容存檔 (PDF)於2016-03-04)
- ^ Subsets and Proper Subsets (PDF), [2012-09-07], (原始內容 (PDF)存檔於2013-01-23)
- ^ Rudin, Walter, Real and complex analysis 3rd, New York: McGraw-Hill, 1987, ISBN 978-0-07-054234-1, MR 0924157