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單連通

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單連通拓撲學拓撲空間的一種性質。直觀地說,單連通空間中所有閉曲線都能連續地收縮至一點。此性質可以由空間的基本群刻劃。拓樸空間的基本群是一個空間是否為單連通的標誌:當且僅當空間的基本群是當然群時,路徑連通的拓樸空間是單連通的[1]:322

定義[編輯]

這個集合是單連通的,因為任何一個包含「洞」的閉曲線都不能收縮至一點

考慮道路連通的拓撲空間X。若拓撲空間X 中的任意閉曲線皆同倫等價於一個點,則稱該空間為單連通的。 換言之[2], 拓撲空間X 是單連通的充要條件為:對任意連續映射

在拓撲空間X 中,存在一點x同倫等價

使得

另一種等價的定義是:當且僅當拓撲空間X 路徑連通,並對任意的、同起點的(即 p(0) = q(0) 且 p(1) = q(1))兩條路徑 p : [0,1] → Xq : [0,1] → X, 存在一個同倫

使得

此時拓撲空間X 是單連通的。

一個拓樸空間X ,當且僅當拓樸空間X 路徑連通,且其基本群僅由單位元素構成時,它是單連通的。[1]:322 類似的,當且僅當對拓樸空間X 中的任意點 (x,y),在X 的基本群中,態射 的集合只有一個元素時,拓樸空間X 是單連通的。[3]

若拓撲空間X 可寫成單連通開子集之並,則稱之為局部單連通。微分拓撲學所論的空間(例如流形)通常不在此類。

複分析中,當且僅當複數域 C 中的開集X 和它的補集在黎曼球面上連通時,X 才是單連通的。 虛部嚴格大於 0 小於 1 的複數集合,提供了一個有趣的例子:一個無界的、連通的、補集不連通平面的開子集。然而這個集合是單連通的。

討論[編輯]

粗略的說,如果空間中的某個物體僅由一小塊構成,並且沒有任何的「洞」穿過它,則這個物體是單連通的。舉個例子:甜甜圈和(帶手柄的)咖啡杯均不是單連通的;而一個空心橡膠球是單連通的。 在二維的情況下,圓不是單連通的;而(實心)碟片和直線是單連通的。 連通但不是單連通的空間稱為非單連通多重連通[4]

球面是單連通的,因為可以將球面上的任意一條閉曲線,沿球面收縮到一點。

這樣的定義只排除了類手柄形狀的洞。一個球體或空心的球體是單連通的,因為其表面上的任何閉曲線都能連續地收縮到一點,即使球的中心有一個「孔」。 在更強一些的條件下,如果一個物體在任何維度上都沒有洞,則稱其為可縮空間英語contractible space

例子[編輯]

環面不是單連通的。右圖中,任意一條彩色閉曲線,都不能在不離開環面的情況下收縮到一點。
  • 單位圓盤 均為單連通
  • 雖然實數集 R 自身是單連通的,但實數集 R 的單點緊化不是單連通的。
  • 二維歐氏空間 R2 是單連通的,但 R2 除去原點 (0,0) 之後得到的 R2\{0} 非單連通。事實上,它同倫等價於 [5]:195
n > 2時,R2R2\{0} 均是單連通的。
  • n 維歐氏空間 Rn 的每個凸子集都是單連通的[6]
  • 二維以上球面 均為單連通[6]
然而 並非單連通:

性質[編輯]

  • 當且僅當一個表面(二維拓樸流形)是連通的,且它的虧格為 0 時,它才是單連通的。
  • 任何(適宜)空間X通用覆蓋都是單連通空間,它通過覆疊映射映射到X
  • XY 是同倫等價的,且X 是單連通的,那麼Y 也是單連通的。
  • 單連通集合的圖像經連續函數變換後不一定是單連通的。舉個例子:複數平面經指數映射後得到 C\{0},它不是單連通的。
  • 在單連通流形上,一次微分形式 ω 正合的充要條件是 dω=0 。

應用[編輯]

單連通性的概念在複分析中十分重要:

  • 柯西積分定理保證:對一個複數平面 C 的單連通開集U,若有全純函數 f : UC,全純函數f 在集合U 上有不定積分F。則在集合U 上,被積函數f 的每一個線積分的值,只取決於積分路徑的兩個端點uv,積分值能表示為 F (v) - F (u)。因此,積分值不依賴於連接 uv 的特定路徑。
  • 黎曼映射定理保證:除複數域 C 自身外,任何非空的、單連通的複數域 C 的開子集共形等價單位圓盤

單連通性的概念也是龐加萊猜想的一個重要條件。

參見[編輯]

參考文獻[編輯]

  1. ^ 1.0 1.1 James, R. Munkres. Ch. 9. Topology (2nd Edition) 2nd ed. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, Inc. January 7. ISBN 0131816292. OCLC 42683260 (英語). 
  2. ^ Hazewinkel, Michiel (編), Simply-connected domain, 數學百科全書, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
  3. ^ Ronald,, Brown,. Topology and Groupoids.. Academic Search Complete. North Charleston: CreateSpace. June 2006. ISBN 1419627228. OCLC 712629429 (英語). 
  4. ^ 埃里克·韋斯坦因. Simply Connected. MathWorld. [2018-07-09]. 
  5. ^ Colin, Adams; Robert, Franzosa; 沈以淡. 第9章 同倫與度理論. 拓撲學基礎及應用. 北京: 機械工業出版社. 2010年4月1日. ISBN 9787111288091. OCLC 644064114 (中文). 
  6. ^ 6.0 6.1 謝樺. 單連通空間的一些性質. 龍巖學院學報. 1993, 11 (3): 57-59 (中文). 
  • Spanier, Edwin. Algebraic Topology. Springer. December 1994. ISBN 0-387-94426-5 (英語). 
  • Conway, John. Functions of One Complex Variable I. Springer. 1986. ISBN 0-387-90328-3 (英語). 
  • Bourbaki, Nicolas. Lie Groups and Lie Algebras. Springer. 2005. ISBN 3-540-43405-4 (英語). 
  • Gamelin, Theodore. Complex Analysis. Springer. January 2001. ISBN 0-387-95069-9 (英語). 
  • Joshi, Kapli. Introduction to General Topology. New Age Publishers. August 1983. ISBN 0-85226-444-5 (英語).