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子集

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A是B的子集,B是A的超集。

子集(英語:subset)亦稱部分集合,為某集合中部分元素的集合;關係相反時則稱作父集母集超集。子集與父集的關係被稱為「包含」。

如果集合A的任意一個元素都是集合B的元素(任意a∈A,則a∈B),那麼集合A稱為集合B的子集,記為,讀作「集合A包含於集合B」或「集合B包含集合A」。

即:,有,則

集合,且的所有元素都是的元素,則可表示為:

  • 子集(或稱包含於 );
  • 父集超集(或稱包含 );

任何集合皆是本身的子集()。而的子集中不等於的集合,稱為真子集,若的真子集,寫作

定義

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假設有兩個集合,如果中的每個元素都是的元素,則:

  • 子集,記作
也可以說
  • 超集,記作

如果的子集,但等於(即中至少存在一個元素不在集合中),則:

  • 真子集,記作
也可以說
  • 真超集,記作

符號

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ISO 80000-2標準中定義了兩種符號搭配:[1]

  • 表示子集關係,表示真子集關係。使用的作品如[2][3][4]
  • 表示子集關係,表示真子集關係。使用的作品如[5]:p.6

舉例

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  • 集合是集合的真子集。
  • 自然數集合是有理數集合的真子集。
  • 集合是大於2000的素數是集合是大於1000的奇數的真子集。
  • 任意集合是其自身的子集,但不是真子集。
  • 空集,寫作,是任意集合的子集。空集總是其他集合的真子集,除了其自身。

性質

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A是B的子集。

命題1空集是任意集合的子集。

這個命題說明:包含是一種偏序關係

命題2:若是集合,則:

自反性
反對稱性
  • 若且唯若
傳遞性

這個命題說明:對任意集合冪集按包含排序是一個有界格,與上述命題相結合,則它是一個布爾代數

命題3:若是集合的子集,則:

存在一個最小元和一個最大元
  • 由命題1給出)
存在並運算
存在交運算

命題4:對任意兩個集合,下列表述等價:

這個命題說明:表述"",和其他使用併集交集補集的表述是等價的,即包含關係在公理體系中是多餘的。

參考文獻

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  1. ^ ISO 80000-2:2019 Quantities and units — Part 2: Mathematics ISO 80000-2:2019 Quantities and units — Part 2: Mathematics. ISO. 2019-08 [2023-7-24]. (原始內容存檔於2023-03-13) (英語). 
  2. ^ 離散數學-第三章, [2012-09-07], (原始內容存檔於2012-07-03) 
  3. ^ 剑桥大学国际考试院IGCSE数学考纲 (PDF), [2015-03-14], (原始內容存檔 (PDF)於2016-03-04) 
  4. ^ Subsets and Proper Subsets (PDF), [2012-09-07], (原始內容 (PDF)存檔於2013-01-23) 
  5. ^ Rudin, Walter, Real and complex analysis 3rd, New York: McGraw-Hill, 1987, ISBN 978-0-07-054234-1, MR 0924157 

參見

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  • 冪集:某集合的全部子集組成的集合。