流形

在數學中，流形（英語：manifold）是可以「局部歐幾里得空間化」的一個拓撲空間，即在此拓撲空間中，每個點附近「局部類似於歐氏空間」。更精確地說，n維流形（n-manifold），簡稱n流形，是一個拓撲空間，其性質是每個點都有一個鄰域，該鄰域同胚於n維歐氏空間的一個開集。

流形是歐幾里得空間中的曲線、曲面等概念的推廣。歐幾里得空間就是最簡單的流形的實例。地球表面這樣的球面則是一個稍微複雜的例子。一般的流形可以通過把許多平直的片折彎並粘連而成。

流形在數學中用於描述幾何形體，它們為研究形體的可微性提供了一個自然的平台。物理學上，經典力學的相空間和構造廣義相對論的時空模型的四維偽黎曼流形都是流形的實例。位形空間中也可以定義流形。環面就是雙擺的位形空間。

一般可以把幾何形體的拓撲結構看作是完全「柔軟」的，因為所有變形（同胚）會保持拓撲結構不變；而把解析幾何結構看作是「硬」的，因為整體的結構都是固定的。例如，當一個多項式在 $(0,1)$ 區間的取值確定了，則其在整個實數範圍的值都被固定，可見局部的變動會導致全局的變化。光滑流形可以看作是介於兩者之間的模型：其無窮小的結構是「硬」的，而整體結構則是「柔軟」的。這也許是中文譯名「流形」的原因（整體的形態可以流動）。該譯名由著名數學家和數學教育學家江澤涵引入。這樣，流形的硬度使它能夠容納微分結構，而它的軟度使得它可以作為很多需要獨立的局部擾動的數學和物理的模型。

簡介

流形可以視為近看起來像歐幾里得空間或其他相對簡單的空間的物體^[1]^:1。例如，人們曾經以為地球是平的。這是因為相對於地球來說人類實在太小，平常看到的地面是地球表面微小的一部分。所以，儘管知道地球實際上差不多是一個圓球，如果只需要考慮其中微小的一部分上發生的事情，比如測量操場跑道的長度或進行房地產交易時，仍然把地面看成一個平面。一個理想的數學上的球面在足夠小的區域上的特性就像一個平面，這表明它是一個流形^[2]^:283。但是球面和平面的整體結構是完全不同的：如果在球面上沿一個固定方向走，最終會回到起點，而在一個平面上，可以一直走下去。

回到地球的例子。像旅行的時候，會用平面的地圖來指示方位。如果將整個地球的各個地區的地圖合訂成一本地圖集，那麼在觀看各個地區的地圖後，就可以在腦海中「拼接」出整個地球的景貌。為了能讓閱讀者順利從一張地圖接到下一張，相鄰的地圖之間會有重疊的部分，以便在腦海里「粘合」兩張圖。類似地，在數學中，也可以用一系列「地圖」（稱為坐標圖或坐標卡）組成的「地圖集」（atlas, 亦稱為圖冊）來描述一個流形^[2]^:283。而「地圖」之間重疊的部分在不同的地圖裏如何變換，則描述了不同「地圖」的相互關係。

描述一個流形往往需要不止一個「地圖」，因為一般來說流形並不是真正的歐幾里得空間。舉例來說，地球就沒法用一張平面的地圖來合適地描繪。

流形要求局部「看起來像」簡單的空間，這不是一個簡單的要求。例如，在球上吊一根線，這個整體就不是一個流形。包含了線和球連接的那一點的附近區域一定不是簡單的：既不是線也不是面，無論這個區域有多小。

流形有很多種。最簡單的是拓撲流形，它們局部看來像歐幾里得空間。其他的種類包含了它們在使用中所需要的額外的結構。例如，一個微分流形不僅支持拓撲，而且要支持微積分。黎曼流形的思想導致了廣義相對論的數學基礎，使得人們能夠用曲率來描述時空。

引例

圓

圓是除歐幾里得空間外的拓撲流形的一個簡單例子。考慮一個半徑為1，圓心在原點的圓。若 $x$ 和 $y$ 是圓上的點的坐標，則有 $x^{2}+y^{2}=1$ 。

局部看來，圓像一條線，而線是一維的。換句話說，只要一個坐標就可以在局部描述一個圓。例如，圓的上半部， $y$ 坐標大於零的部分（右圖中黃色的部分），任何一點都可以用 $x$ 坐標確定。投影映射：

\phi _{\mathrm {top} }:(x,y)\mapsto x\,

把上半圓映射到開區間 $(-1,1)$ 。反過來，給定一個 $x$ ， $(x,{\sqrt {1-x^{2}}})$ 就是上半圓的一點：

\phi _{\mathrm {top} }^{(-1)}:x\mapsto (x,{\sqrt {1-x^{2}}})\,

這樣的一個映射 $\phi _{\mathrm {top} }$ 就是一個坐標卡（chart）。它的作用，就是告訴讀者「地圖」上的一點對應着實際中的哪一點。 $\phi _{\mathrm {top} }$ 和它的逆映射都是連續函數甚至是光滑函數，這樣的映射也叫做一個（微分）同胚^[1]^:4。類似的，也可以為圓的下半部（紅），左半部（藍），右半部（綠）建立坐標卡。

{\begin{aligned}\phi _{\mathrm {bottom} }(x,y)&=x\\\phi _{\mathrm {left} }(x,y)&=y\\\phi _{\mathrm {right} }(x,y)&=y.\end{aligned}}

這四個部分合起來覆蓋了整個圓，這四個坐標卡就組成了該圓的一個圖冊（atlas）。

注意圓上部和右部的重疊部分，也就是位於圓上 $x$ 和 $y$ 坐標大於0的四分之一圓弧。兩個坐標卡 $\phi _{\mathrm {top} }$ 和 $\phi _{\mathrm {right} }$ 都將這部分雙射到區間 $(0,1)$ 。這樣就有一個從 $(0,1)$ 到它自己的雙射 $T$ ：首先取 $(0,1)$ 上面一點 $a$ （黃色線段右半部分的點）黃色坐標卡的逆映射到達圓上的對應點 $(a,{\sqrt {1-a^{2}}})$ ，再通過綠色坐標卡映射到 $(0,1)$ 上:

T(a)=\phi _{\mathrm {right} }\left(\phi _{\mathrm {top} }^{(-1)}(a)\right)=\phi _{\mathrm {right} }\left(a,{\sqrt {1-a^{2}}}\right)={\sqrt {1-a^{2}}}.

映射 $T$ 稱為坐標變換映射（transition map），它告訴讀者一張「地圖」上的點是如何對應到另一張「地圖」上的相應的點，說明了兩張地圖之間的關係^[1]^:5。

上，下，左，右四個坐標卡表明圓是一個流形，但它們不是唯一可以描述圓形的圖冊。坐標卡除了可以是幾何投影，也可以是別的映射，而坐標卡的數量也可以不是四個，只要能夠覆蓋整個圓就行了。考慮以下兩個坐標卡

\phi _{\mathrm {minus} }(x,y)=s={y \over {1+x}}

和

\displaystyle \phi _{\mathrm {plus} }(x,y)=t={y \over {1-x}}.

這裏 $s$ 是過點 $(x,y)$ 和固定點 $(-1,0)$ 之直線的斜率。比如右圖中，點 $(-0.28,0.96)$ 和 $(-1,0)$ 確定的直線（右圖黃色直線）斜率是 $1{1 \over 3}$ ；點 $(0.6,-0.8)$ 和 $(-1,0)$ 確定的直線（右圖紅色直線）的斜率則是 $-{1 \over 2}$ 。 $\phi _{\mathrm {minus} }$ 可以把圓上面除了點 $(-1,0)$ 以外的點一一映射到實數軸 $(-\infty ,\infty )$ 上。 $\phi _{\mathrm {plus} }$ 則是 $\phi _{\mathrm {minus} }$ 關於 $y$ 軸的鏡像對稱（也就是左右對稱），固定點是 $(+1,0)$ 。 $\phi _{\mathrm {minus} }$ 的逆映射為

x={{1-s^{2}} \over {1+s^{2}}},\qquad y={{2s} \over {1+s^{2}}};

很容易確認 $x^{2}+y^{2}=1$ 對於所有斜率值 $s$ 成立。這兩個坐標卡提供了圓的又一個圖冊，其變換映射為

t={1 \over s}.

注意每個坐標卡都缺了一點，對於 $s$ 是點 $(-1,0)$ ，對於 $t$ 是點 $(+1,0)$ ，所以每個坐標卡不能獨自覆蓋整個圓。利用拓撲學的工具可以證明，沒有單個的坐標卡可以覆蓋整個圓；在這個簡單的例子裏，已經可以看到流形擁有多個坐標卡的靈活性^[1]^:4。

其他曲線

流形不必連通（整個只有一片）；一對分離的圓可以是一個流形。它們不必是閉的，所以不帶兩個端點的線段也是流形。它們也不必有限，這樣拋物線也是一個流形。

定義

拓撲流形的數學定義可表述為^[3]：

設 $M$ 是豪斯多夫空間，若對任意

x\in M

，都有包含

x

的鄰域 $U_{x}$ ，同胚於

\mathbb {R} ^{m}

（m維歐幾里得空間）的某個開集，則稱 $M$ 是個 $m$ 維（拓撲）流形。

坐標卡

一個流形的一個坐標映射（coordinate map），坐標卡（coordinate chart），或簡稱卡是一個在流形的一個開子集和一個簡單空間之間的雙射，使得該映射及其逆都保持所要的結構。對於拓撲流形，該簡單空間是某個歐幾里得空間Rⁿ（或Rⁿ的某個開子集）而一般感興趣的是其拓撲結構。這個結構被同胚（homeomorphism）保持，也就是可逆的在兩個方向都連續的映射。例如上節提到的映射 $\phi _{\mathrm {top} }$ 是圓圈的一個卡。卡對於計算極其重要，因為它使得計算可以在簡單空間進行，再把結果傳回流形。

圖冊

多數流形的表述需要多於一個的卡（只有最簡單的流形只用一個卡）。覆蓋流形的一個特定的卡的集合稱為一個圖冊（atlas）。圖冊不是唯一的，因為所有流形可以被不同的卡的組合用很多方式覆蓋。

包含所有和給定圖冊相一致的卡的圖冊稱為極大圖冊(maximal atlas)。不像普通的圖冊，極大圖冊是唯一的。雖然可能在定義中有用，但這個對象非常抽象，通常不直接使用（例如，在計算中）。

坐標變換映射

圖冊中的卡通常會互相重疊，而流形中的一個點可能會被好幾個圖所表示。如果兩個圖重疊，它們的部分會表示流形的同一個區域。這些部分之間的關聯代表流形上同一點的坐標點的映射，譬如上面圓圈例子中的映射T，稱為坐標變換，變換函數，或者轉換映射。

附加結構

圖冊也可用於定義流形上的附加結構。結構首先在每個卡上分別定義。如果所有變換映射和這個結構相容，該結構就可以轉到流形上。

這是微分流形的標準定義方式。如果圖冊的變換映射對於一個拓撲流形保持Rⁿ自然的微分結構（也就是說，如果它們是微分同胚），該微分結構就傳到了流形上並把它變成微分流形。

通常，流形的結構依賴於圖冊，但有時不同的圖冊給出相同的結構。這樣的圖冊稱為相容的。

構造

一個流形可以以不同方式構造，每個方式強調了流形的一個方面，因而導致了不同的觀點。

圖冊構造

構造一個流形的一個簡單方法是在上面的例子中的圓圈的構造方法。首先，確認R²的一個子集，然後覆蓋這個子集的圖冊被構造出來。流形的概念歷史上就是從這樣的構造發展出來的。這裏有另一個例子，把這個方法應用在球面的構造上:

帶圖冊的球面

球面的表面可以幾乎和圓圈一樣的方法來處理。可把球面視作R³的子集:

S=\{(x,y,z)\in \mathbf {R} ^{3}|x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\}.

球面是二維的，所以每個坐標圖將映射球面的一部分到一個R²的開子集。例如考慮北半球，它是帶正z坐標的部分。（在右圖中它着紅色）定義如下的函數χ

\chi (x,y,z)=(x,y),

把北半球映射到開單位圓盤，通過把它投影到（x, y）平面。類似的坐標圖對南半球也存在。和投影到（x, z）平面的兩個坐標圖以及投影到（y, z）平面的兩個坐標圖一起，就得到了一個覆蓋整個球面的含6個坐標圖的圖冊。

這可以很容易地擴展到高維的球面。

貼補

流形可以通過把碎片以一種相容的方式粘合來構造，使得碎片成為互相覆蓋的坐標圖。這種構造對於任何流形都是可行的，所以經常作為流形的表述，特別是微分和黎曼流形。它集中於圖冊的構造，把流形作為坐標圖所自然的提供的貼片，因為不涉及外部的空間，這導致了流形的內在的觀點。

這裏，流形通過給定圖冊來構造，圖冊通過定義轉換映射來得到。因此，流形上的一個點可以看成是通過變換映射映到同一個點的坐標點的等價類。坐標圖把等價類映射到一個貼片上的點。通常會對變換映射有很強的一致性要求。對於拓撲流形，它們被要求為同胚；如果它們也是微分同胚，最後得到的流形就是微分流形。

這可以通過變換映射圓圈例子的第二部分中的t = ¹⁄_s來解釋。從直線的兩個拷貝開始。第一個拷貝用坐標s，第二個拷貝用t。現在，通過把第二個拷貝上的點t和第一個拷貝上的點¹⁄_s作為同一個點來粘合起來(點t = 0不和任何第一個拷貝上的點認同)。這就給出了一個圓圈。

內在和外在的觀點

第一種構造和這種構造非常相似，但是他們代表了相當不同的觀點。在第一種構造中，流形被視為嵌入到某個歐幾里得空間中。這是外在的觀點。當一個流形用這種方式來看的時候，它很容易通過直覺從歐幾里得空間得到附加的結構。例如，在歐幾里得空間，很明顯某個點的一個向量是否和穿過該點的曲面相切或者垂直。

貼補構造不用任何嵌入，只是簡單把流形看作拓撲空間本身。這個抽象的觀點稱為內在的觀點。這使得什麼是切向量更難以想像。但是它表達了流形的本質，在計算上來講，這可以避免使用更高的維數，例如只要二維而不是三維就可以作球面上的計算。

作為貼補的n維球面

n維球面Sⁿ可以通過粘合Rⁿ的兩個拷貝來構造。他們之間的變換函數定義為

\mathbf {R} ^{n}\setminus \{0\}\to \mathbf {R} ^{n}\setminus \{0\}:x\mapsto x/\|x\|^{2}.

這個函數是它自身的逆，因而可以在兩個方向使用。因為變換映射是一個光滑函數，這個圖冊定義了一個光滑流形。

如果取n = 1，就得到了上面圓圈的例子。

函數的零點

很多流形可以定義為某個函數的零點集。這個構造自然的把流形嵌入一個歐幾里得空間，因而導向一個外在的觀點。這很形象，但不幸的是不是每個流形都可以這樣表示。

如果一個可微函數的雅可比矩陣在函數為0的每一點是滿秩的，則根據隱函數定理，每個這樣的點周圍存在一個為0的鄰域微分同胚於一個歐幾里得空間。因此零點集是一個流形。

作為一個函數零點的n維球面

n維球面Sⁿ經常定義為

\mathbf {S} ^{n}:=\{x\in \mathbf {R} ^{n+1}:\|x\|=1\}

這等價為如下函數的零點

x\mapsto \|x\|-1.

這個函數的雅可比矩陣是

{\begin{bmatrix}x_{1}&\ldots &x_{n+1}\end{bmatrix}}

，

它的秩對於除了原點的所有點為1(對於1×n矩陣就是滿秩的)。這證明n維球面是一個微分流形。

黏合一個流形上的不同點

可以把流形上的不同點定義為相同。這可以視為把不同的點粘合為同一個點。這構造出的結果不保證是流形，但在有些情況下會是流形。

這些情況下，黏合過程是用群來完成的，這是作用在流形上的群。兩個點被視為同一個如果一個能被該群的一個元素移動到另一個上面。如果M是該流形而G是該群，結果空間稱為商空間，並記為M/G。可以通過黏合點來構造的流形包括環面和實射影空間（分別從一個平面和一個球面開始）。舉例來說，假設 $S^{2}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\},H=\{e,g\},e,g:S^{2}\mapsto S^{2},e(x)=x,g(x)=-x,\,\forall x\in S^{2}$ ，則二維實射影空間 $\mathbb {R} P^{2}=S^{2}/H$ 。

直積

流形的直積也是流形。但不是每個流形都是一個積。

積流形的維數是其因子的維數之和。其拓撲是乘積拓撲，而坐標圖的直積是積流形的坐標圖。這樣，積流形的圖冊可以用其因子的圖冊構造。如果這些圖冊定義了因子上的微分結構，相應的積圖冊定義了積流形上的一個微分結構。因子上定義的其他結構也可以同樣處理。如果一個因子有一個邊界，積流形也有邊界。直積可以用來構造環面和有限圓柱面，例如，分別定義它們為S¹ × S¹和S¹ × [0, 1]。

沿邊界粘合

兩個帶邊界的流形可以沿着邊界粘合。如果用正確的方式完成，結果也是流形。類似的，一個流形的兩個邊界也可以粘合起來。

形式化的，粘合可以定義為兩個邊界的一個雙射。兩個點被認同為一個，如果它們互相映射到對方。對於一個拓撲流形，這個雙射必須是同胚，否則結果就不是拓撲流形。類似的，對於一個微分流形，它必須是微分同胚。對於其它流形，其他的結構必須被這個雙射所保持。

有限的圓柱面可以作為一個流形構造，先從一個長條R × [0, 1]開始，然後把對邊通過適當的微分同胚粘合起來。克萊因瓶可以由一個帶孔的球面和一個莫比烏斯帶沿着各自的圓形邊界粘合起來得到。

拓撲流形

最容易定義的流形是拓撲流形，它局部看起來象一些「普通」的歐幾里得空間Rⁿ。形式化地講，一個拓撲流形是一個局部同胚於一個歐幾里得空間的拓撲空間。這表示每個點有一個鄰域，它有一個同胚（連續雙射其逆也連續）將它映射到Rⁿ。這些同胚是流形的坐標圖。

通常附加的技術性假設被加在該拓撲空間上，以排除病態的情形。可以根據需要要求空間是豪斯多夫的並且第二可數。這表示下面所述的有兩個原點的直線不是拓撲流形，因為它不是豪斯朵夫的。

流形在某一點的維數就是該點映射到的歐幾里得空間圖的維數（定義中的數字n）。連通流形中的所有點有相同的維數。有些作者要求拓撲流形的所有的圖映射到同一歐幾里得空間。這種情況下，拓撲空間有一個拓撲不變量，也就是它的維數。其他作者允許拓撲流形的不交並有不同的維數。

微分流形

很容易定義拓撲流形，但是很難在它們上面工作。對於多數應用，拓撲流形的一種，微分流形比較好用。如果流形上的局部坐標圖以某種形式相容，就可以在該流形上討論方向，切空間，和可微函數。特別是，可以在微分流形上應用「微積分」。

可定向性

考慮一個拓撲流形，其坐標圖映射到Rⁿ。給定一個Rⁿ的有序基，坐標圖就給它所覆蓋的流形的一片引入了一個方向，可以視為或者右手或者左手的。重疊的坐標圖不要求在方向上一致，這給了流形一個重要的自由度。對於某些流形，譬如球面，可以選取一些坐標圖使得重疊區域在"手性"上一致；這些流形稱為"可定向"的。對於其它的流形，這不可能做到。後面這種可能性容易被忽視，因為任何在三維空間中（不自交的）嵌入的閉曲面都是可定向的。

考慮三個例子: (1)莫比烏斯帶，它是有邊界的流形，（2）克萊因瓶，它在三維空間必須自交，以及（3）實射影平面，它很自然的出現在幾何學中。

莫比烏斯帶

從一個豎着的無限圓柱面開始，這是一個無邊界的流形。在高和低的地方各剪一刀，產生兩個圓形邊界，和它們之間的一個圓形的帶子。這是一個帶邊界的可定向流形，若在它上面動一個小"手術"。把帶子剪開，使得它能展開成一個矩形，但把兩頭捏住。把其中一頭轉180°，把內面翻倒朝外，然後把兩頭無縫的粘回來。現在有了一個永久半翻轉的帶子，就是莫比烏斯帶。它的邊界不再是一對圓圈，而是（拓撲上）單個圓圈；曾經是"內面"的現在和"外面"並了起來，使得它只有"單"面。（在打印機的色帶中有這種左扭帶的應用。）

克萊因瓶

取兩個莫比烏斯帶；每個都以一個圈為邊界。把每個圈拉成一個圓圈，並把帶子變成交叉帽（cross-cap）。（注意這在三維空間物理上是不可能的；克萊因瓶不能放到三維空間中，就像莫比烏斯帶（或者球面）不能放在平面上一樣。實際建造一個克萊因瓶必須在至少四維的空間進行）把圓圈粘合起來會產生一個新的閉合流形，沒有邊界的克萊因瓶。把曲面閉合起來並不能改變不可定向性，它只是移除了邊界。這樣克萊因瓶就成了一個不能分辨內外的閉合曲面。

實射影平面

從圓心為原點的球面開始。穿過原點的每條直線在兩個相對的點穿透球面。雖然在物理上不能這麼做，但在數學上可以把相對點黏合為同一點。這樣產生的閉合曲面是實射影平面，為一個不可定向曲面。它有一些等價的表述和構造，但是這個方法揭示了它的名字:所有給定的穿過原點的直線射影到該"平面"的一個"點"。

豪斯多夫假設

兩個原點的線

這裏給出一個空間的例子，它滿足拓撲流形所有的條件，除了它不是豪斯多夫空間（Hausdorff space）。取兩個R的拷貝，把它們寫作

\mathbf {R} \times \{0\}

and

\mathbf {R} \times \{1\}

,

並定義如下等價關係

(x,0)\sim (x,1)

if

x\neq 0

.

從這個等價關係得到的商空間 L 是一個象實直線那樣的空間， $\{(x,0)\mid x\in \mathbb {R} \}$ ，再加上額外的一點 $(0,1)$ 。特別的是， $L$ 上的 $(0,0)$ 和 $(0,1)$ 這兩點不能被不相交的開集所分離，所以L不是豪斯多夫的。它是一個拓撲流形，但不是豪斯多夫拓撲流形。

經常，拓撲流形被定義為必須是豪斯多夫的，在這個定義下，上面的例子不是流形。

流形的其他類型和推廣

要在流形上研究幾何，通常必須用附加的結構來裝飾這些空間，例如上面的微分流形所加入的微分結構。根據所需要的不同的幾何，有許多其它的可能性:

複流形: 複流形是建模在Cⁿ上的流形，在坐標圖的重疊處以全純函數為變換函數。這些流形是復幾何研究的基本對象。一個一維複流形稱為黎曼曲面。

巴拿赫和Fréchet流形:要允許無窮維，可以考慮巴拿赫流形，它局部同胚於巴拿赫空間。類似的，Fréchet流形局部同胚於Fréchet space。

軌形（Orbifolds）:一個軌形是流形的推廣，允許某種"奇異點"在其拓撲中存在。大致來講，它是局部看起來像一些簡單空間（例如，歐幾里得空間）通過各種有限群的群作用的商。奇點對應於群作用的不動點，而作用必須在某種意義下相容。

代數簇和概形（Algebraic varieties and schemes）:一個代數簇是幾個仿射代數簇粘起來得到的，仿射代數簇是在代數封閉的域上多項式的零點集。類似的，概形是仿射概形粘起來得到的，而仿射概形是代數簇的一個推廣。二者都和流形相關，但都使用層而非坐標圖集來構造。

歷史

第一個清楚地把曲線和曲面本身構想為空間的可能是高斯，他以他的「絕妙定理」（Theorema egregium）建立了內在的微分幾何。

黎曼是第一個廣泛的展開真正需要把流形推廣到高維的工作的人。流形的名字來自黎曼原來的德語術語Mannigfaltigkeit，William Kingdon Clifford把它翻譯為"manifoldness"（多層）。在他的哥廷根就職演說中，黎曼表明一個屬性可以取的所有值組成一個Mannigfaltigkeit。他根據值的變化連續與否對stetige Mannigfaltigkeit和離散 [sic] Mannigfaltigkeit（連續流形 和不連續流形）作了區分。作為stetige Mannigfaltikeiten的例子，他提到了物體顏色和在空間中的位置，以及一個空間形體的可能形狀。他把一個n fach ausgedehnte Mannigfaltigkeit（n次擴展的或n-維流形）構造為一個連續的（n-1）fach ausgedehnte Mannigfaltigkeiten堆。黎曼直覺上的Mannigfaltigkeit概念發展為今天形式化的流形。黎曼流形和黎曼曲面就是以他的名字命名的。

交換簇的概念在黎曼的時代已經被隱含地作為複流形使用。從幾何方面考慮，拉格朗日力學和哈密爾頓力學的本質也是流形理論。

龐加萊研究了三維流形，並提出著名的龐加萊猜想：所有閉簡單連通的三維流形同胚於3維球嗎？這個猜想已被Grigori Perelman解決。

赫爾曼·外爾於1912年給出了微分流形的一個內在的定義。1930年代，該課題基礎性方面的工作被Hassler Whitney等人釐清，使得從19世紀下半葉起開始發展起來的相關的直覺知識變得更精確，並通過微分幾何和李群使微分流形的理論得到進一步的發展。

參考文獻

註釋

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一般參考

Guillemin, Victor and Anton Pollack, Differential Topology, Prentice-Hall (1974) ISBN 978-0-13-212605-2. This text was inspired by Milnor, and is commonly used for undergraduate courses.
Hirsch, Morris, Differential Topology, Springer (1997) ISBN 978-0-387-90148-0. Hirsch gives the most complete account with historical insights and excellent, but difficult problems. This is the best reference for those wishing to have a deep understanding of the subject.
Kirby, Robion C.; Siebenmann, Laurence C. Foundational Essays on Topological Manifolds. Smoothings, and Triangulations. Princeton, New Jersey: Princeton University Press (1977). ISBN 978-0-691-08190-8. A detailed study of the category of topological manifolds.
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Spivak, Michael, Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus. HarperCollins Publishers (1965). ISBN 978-0-8053-9021-6. This is the standard text used in most graduate courses.
Riemann, Bernhard, Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）. The 1851 doctoral thesis in which "manifold" (Mannigfaltigkeit) first appears.
Riemann, Bernhard, On the Hypotheses which lie at the Bases of Geometry. The famous Göttingen inaugural lecture (Habilitationsschrift) of 1854.
Sharpe, R.W., Differential Geometry:Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94732-7.

外部連結

Hazewinkel, Michiel (編), Manifold, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
Dimensions-math.org （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） (A film explaining and visualizing manifolds up to fourth dimension.)
The manifold atlas Portuguese Web Archive的存檔，存檔日期2016-05-23 project of the Max Planck Institute for Mathematics in Bonn （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）

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[baz-2] 2.0 ^2.1 B.A.卓里奇著，蔣鐸、錢佩玲、周美珂、鄺榮雨譯. 《数学分析》第二卷. 高等教育出版社. 2006. ISBN 978-7-040-20257-1. 第175-183頁.

[3] Chern, S.S; Weihuan Chen, Kai Shue Lam. Lectures on Differential Geometry. Singapore: World Scientific. 2000.

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