在數學中,一個向量空間
的張量代數(tensor algebra),記作
,是
上的(任意階)張量的代數,其乘法為張量積。張量代數左伴隨於從代數到向量空間的遺忘函子,在這種意義下它是
上的自由代數;在相應的泛性質的意義下,它是包含
的「最一般的代數」(見下)。
張量代數也具有余代數結構。
注:本文中所有代數都假設是有單位的且結合。
設
是域
上一個向量空間。對任何非負整數
,我們定以
的
次張量積為
與自己的
次張量積:
。
這便是講,
由
上所有秩
張量組成。習慣上
是基域
(作為自己的一維向量空間)。
令
為所有
(
)的直和:
。
中的乘法由典範同構確定:
![{\displaystyle T^{k}V\otimes T^{\ell }V\to T^{k+\ell }V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e967dfe0bb14b59f198ed2a5c3c43155ab720de2)
由張量積給出,然後線性擴張到所有
。此乘法表明張量代數
自然是一個分次代數,
作為
次子空間。
此構造可徑直推廣到任意交換環上的模
上。如果
是一個非交換環,我們仍然可以對任意
-
雙模執行這樣的構造。(對通常的
-模不行,因為沒有迭代張量積。)
張量代數
也成為向量空間
上的自由代數,並具有函子性。像其它自由構造一樣,函子
左伴隨於某個遺忘函子,該函子將每個
-代數送到它的底向量空間。
準確地說,張量代數滿足如下的泛性質,正式地表明它是包含
的最一般的代數:
- 任何從
到
上的一個代數
的線性變換
可以惟一地擴張為從
到
的一個代數同態,如下交換圖表所示:
張量代數的泛性質
這裏
是
到
的典範包含(伴隨的單位)。事實上可以定義張量代數
為滿足這個性質惟一的代數(確切地說,在惟一的一個同構意義下),但仍然要證明滿足這個性質的對象存在。
如上泛性質說明張量代數的構造有自然的函子性。就是講,
是從
-Vect,
上向量空間範疇,到
-Alg,
-代數範疇,的一個函子。
的函子性意味着任何從V到W的線性映射惟一地擴張為從
到
的代數同態。
如果
為有限維
,張量代數的另一個看法是「
上
個非交換變量的多項式代數」。如果我們取
的基向量,它們成為
中的非交換變量(或不定元),彼此間沒有任何約束(除了結合律,分配律以及K-線性)。
注意
上的多項式代數不是
,而是
:
上一個(齊次)線性函數是
中的一個元素。
因為張量代數的一般性,許多其它有趣的代數可以由張量代數開始構造,然後在生成元上施以一定的關係,即構造
一定的商代數。這樣的例子譬如外代數、對稱代數、克利福德代數以及泛包絡代數。
張量代數上的余代數結構如下。余積
定義為
![{\displaystyle \Delta (v_{1}\otimes \dots \otimes v_{m}):=\sum _{i=0}^{m}(v_{1}\otimes \dots \otimes v_{i})\otimes (v_{i+1}\otimes \dots \otimes v_{m})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bf22f5e1ad71af6e7306f263751ecb47009580d)
線性擴張到整個
。余單位由
的0-次分量。注意到
保持分次:
![{\displaystyle T^{m}V\to \bigoplus _{i+j=m}T^{i}V\otimes T^{j}V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69addd77e4e02fe4de5f5f9a8ebd3caaa4c37591)
而
也與分次相容。
張量代數在這個余積下不是雙代數。但下述更複雜的余積確實得到一個余代數:
![{\displaystyle \Delta (x_{1}\otimes \dots \otimes x_{m})=\sum _{p=0}^{m}\sum _{\sigma \in \mathrm {Sh} _{p,m-p}}\left(v_{\sigma (1)}\otimes \dots \otimes v_{\sigma (p)}\right)\otimes \left(v_{\sigma (p+1)}\otimes \dots \otimes v_{\sigma (m)}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8793b27d86992c933ff60e311ae1c9794a67e39f)
這裏求和取遍所有(p,m-p)-牌序。最後,對極映射為:
![{\displaystyle S(x_{1}\otimes \dots \otimes x_{m})=(-1)^{m}x_{m}\otimes \dots \otimes x_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27648bf47588fee64936cda3b5833c2b2bb9d0fe)
線性擴張到整個
,這樣張量代數成為一個霍普夫代數。
- 陳維桓. 微分流形初步 第二版. 北京: 高等教育出版社. 2001年8月.
- Mac Lane, Saunders. Categories for the Working Mathematician(2nd ed.). GTM5. Spinger, 1998