跳至內容

張量代數

維基百科,自由的百科全書

數學中,一個向量空間張量代數tensor algebra),記作,是上的(任意階)張量代數,其乘法為張量積。張量代數左伴隨於從代數到向量空間的遺忘函子,在這種意義下它是上的自由代數;在相應的泛性質的意義下,它是包含的「最一般的代數」(見下)。

張量代數也具有余代數結構。

:本文中所有代數都假設是有單位的結合

構造

[編輯]

上一個向量空間。對任何非負整數,我們定以次張量積與自己的張量積

這便是講,上所有張量組成。習慣上是基域(作為自己的一維向量空間)。

為所有)的直和

中的乘法由典範同構確定:

由張量積給出,然後線性擴張到所有。此乘法表明張量代數自然是一個分次代數作為次子空間。

此構造可徑直推廣到任意交換環上的上。如果是一個非交換環,我們仍然可以對任意- 雙模執行這樣的構造。(對通常的-模不行,因為沒有迭代張量積。)

伴隨與泛性質

[編輯]

張量代數也成為向量空間上的自由代數,並具有函子性。像其它自由構造一樣,函子左伴隨於某個遺忘函子,該函子將每個-代數送到它的底向量空間。

準確地說,張量代數滿足如下的泛性質,正式地表明它是包含的最一般的代數:

任何從上的一個代數線性變換可以惟一地擴張為從的一個代數同態,如下交換圖表所示:
張量代數的泛性質
張量代數的泛性質

這裏的典範包含(伴隨的單位)。事實上可以定義張量代數為滿足這個性質惟一的代數(確切地說,在惟一的一個同構意義下),但仍然要證明滿足這個性質的對象存在。

如上泛性質說明張量代數的構造有自然的函子性。就是講,是從-Vect向量空間範疇,到-Alg-代數範疇,的一個函子的函子性意味着任何從VW的線性映射惟一地擴張為從的代數同態。

非交換多項式

[編輯]

如果為有限維,張量代數的另一個看法是「 個非交換變量的多項式代數」。如果我們取的基向量,它們成為中的非交換變量(或不定元),彼此間沒有任何約束(除了結合律分配律以及K-線性)。

注意上的多項式代數不是,而是上一個(齊次)線性函數是中的一個元素。

[編輯]

因為張量代數的一般性,許多其它有趣的代數可以由張量代數開始構造,然後在生成元上施以一定的關係,即構造一定的商代數。這樣的例子譬如外代數對稱代數克利福德代數以及泛包絡代數

余代數結構

[編輯]

張量代數上的余代數結構如下。余積定義為

線性擴張到整個。余單位由的0-次分量。注意到保持分次:

也與分次相容。

張量代數在這個余積下雙代數。但下述更複雜的余積確實得到一個余代數:

這裏求和取遍所有(p,m-p)-牌序。最後,對極映射為:

線性擴張到整個,這樣張量代數成為一個霍普夫代數

參見

[編輯]

參考文獻

[編輯]
  • 陳維桓. 微分流形初步 第二版. 北京: 高等教育出版社. 2001年8月. 
  • Mac Lane, Saunders. Categories for the Working Mathematician(2nd ed.). GTM5. Spinger, 1998