在數學中,一個向量空間的張量代數(tensor algebra),記作,是上的(任意階)張量的代數,其乘法為張量積。張量代數左伴隨於從代數到向量空間的遺忘函子,在這種意義下它是上的自由代數;在相應的泛性質的意義下,它是包含的「最一般的代數」(見下)。
張量代數也具有余代數結構。
注:本文中所有代數都假設是有單位的且結合。
設是域上一個向量空間。對任何非負整數,我們定以的次張量積為與自己的次張量積:
- 。
這便是講,由上所有秩張量組成。習慣上是基域(作為自己的一維向量空間)。
令為所有()的直和:
- 。
中的乘法由典範同構確定:
由張量積給出,然後線性擴張到所有。此乘法表明張量代數自然是一個分次代數,作為次子空間。
此構造可徑直推廣到任意交換環上的模上。如果是一個非交換環,我們仍然可以對任意- 雙模執行這樣的構造。(對通常的-模不行,因為沒有迭代張量積。)
張量代數也成為向量空間上的自由代數,並具有函子性。像其它自由構造一樣,函子左伴隨於某個遺忘函子,該函子將每個-代數送到它的底向量空間。
準確地說,張量代數滿足如下的泛性質,正式地表明它是包含的最一般的代數:
- 任何從到上的一個代數的線性變換可以惟一地擴張為從到的一個代數同態,如下交換圖表所示:
這裡是到的典範包含(伴隨的單位)。事實上可以定義張量代數為滿足這個性質惟一的代數(確切地說,在惟一的一個同構意義下),但仍然要證明滿足這個性質的對象存在。
如上泛性質說明張量代數的構造有自然的函子性。就是講,是從-Vect,上向量空間範疇,到-Alg,-代數範疇,的一個函子。的函子性意味著任何從V到W的線性映射惟一地擴張為從到的代數同態。
如果為有限維,張量代數的另一個看法是「 上個非交換變量的多項式代數」。如果我們取的基向量,它們成為中的非交換變量(或不定元),彼此間沒有任何約束(除了結合律,分配律以及K-線性)。
注意上的多項式代數不是,而是:上一個(齊次)線性函數是中的一個元素。
因為張量代數的一般性,許多其它有趣的代數可以由張量代數開始構造,然後在生成元上施以一定的關係,即構造一定的商代數。這樣的例子譬如外代數、對稱代數、克利福德代數以及泛包絡代數。
張量代數上的余代數結構如下。余積定義為
線性擴張到整個。余單位由的0-次分量。注意到保持分次:
而也與分次相容。
張量代數在這個余積下不是雙代數。但下述更複雜的余積確實得到一個余代數:
這裡求和取遍所有(p,m-p)-牌序。最後,對極映射為:
線性擴張到整個,這樣張量代數成為一個霍普夫代數。
- 陳維桓. 微分流形初步 第二版. 北京: 高等教育出版社. 2001年8月.
- Mac Lane, Saunders. Categories for the Working Mathematician(2nd ed.). GTM5. Spinger, 1998