分離集合

在拓撲學和有關的數學分支中，分離集合是給定拓撲空間中以特定方式相互關聯的一對子集，粗略的說，既不重疊也不接觸。兩個集合是否分離對於連通空間和拓撲空間的分離公理的概念都很重要。

分離集合不應該與分離空間混淆，它們有些關係但並不相同。而可分離空間則是完全不同的拓撲概念。

定義

有各種方式來認定拓撲空間 X 的兩個子集是分離的。

• A 和 B 是不相交的，如果它們的交集是空集。這個性質與拓撲無關，只與集合論有關；我們在這裡介紹它是因為它在一序列的不同概念中是最弱的。不相交性的詳情請參見不交集。

• A 和 B 在 X 中是分離的，如果每個都與另一個的閉包不相交。閉包自身不必互不相交；例如，區間 [0,1) 和 (1,2] 在實直線 R 中是分離的，即使點 1 同時屬於它們的閉包。更一般的說，在任何度量空間中，兩個開球 B_r(x1) = {y:d(x1,y)<r} 和 B_s(x2) = {y:d(x2,y)<s} 是分離的，只要 d(x1,x2) ≥ r+s。注意任何兩個分離的集合必定不相交。

• A 和 B 是由鄰域分離的，如果 A 有鄰域 U 且 B 有鄰域 V 使得 U 和 V 不相交。（有時你會見到要求 U 和 V 是開鄰域，但在這裡沒有區別。）例如 A = [0,1) 和 B = (1,2]，你可以選取 U = (-1,1) 和 V = (1,3)。注意如果任何兩個集合是由鄰域分離的，則它們當然是分離的。如果 A 和 B 是開集且不相交，則它們必定由鄰域分離；只要取 U = A 和 V = B。為此分離性經常與閉集一起使用（比如在正規分離公理中）。

• A 和 B 是由閉鄰域分離的，如果 A 有閉鄰域 U 且 B 有閉鄰域 V 使得 U 和 V 不相交。例如，[0,1) 和 (1,2] 不是由閉鄰域分離的。你可以通過包括點 1 在其中而使任何一個 U 或 V 閉合，但是你不能使它們都閉合而仍保持它們不相交。注意如果任何兩個集合是由閉鄰域分離的，則它們當然是由鄰域分離的。

• A 和 B 是由函數分離的，如果存在從空間 X 到實直線 R 的連續函數 f ，使得 f(A) = {0} 而 f(B) = {1}。（有時你會看到在這個定義中用單位區間 [0,1] 替代 R，但是在這裡沒有區別。）例如，[0,1) 和 (1,2] 不是由函數分離的，因為無法在點 1 連續的定義 f。注意如果兩個集合是由函數分離的，則它們也是由閉鄰域分離的；鄰域可以從 f 的前像給出， U := f^-1[-e,e] 和 V := f^-1[1-e,1+e]，其中 e 是小於1/2 的正實數。

• A 和 B 是由函數完全分離的，如果存在從 X 到 R 的連續函數 f 使得 f ^-1(0) = A 和 f ^-1(1) = B。（又一次的，你可能會見到在定義中用單位區間替代 R，而在這裡也是沒有區別。）注意如果兩個集合是由函數完全分離的，則它們當然是由函數分離的。既然 {0} 和 {1} 在 R 中為閉集，只有閉集有能力被函數完全分離；但兩個由函數分離的閉集合不意味著它們自動的由函數（甚至不同的函數）完全分離。

與分離公理和分離空間的關係

分離公理是施加到拓撲空間上的各種條件，可依據上述各種類型的分離方式來描述。作為例子，我們定義 T₂ 公理，它是施加在分離空間上的條件。更明確地說，一個拓撲空間是分離空間，如果給定任何兩個不同的點 x 和 y，值得單元素集合 {x} 和 {y} 是由鄰域分離的。

分離空間也叫做「豪斯多夫空間」或「T₂ 空間」。分離空間的進一步討論可以在豪斯多夫空間中找到。各種分離公理的討論見於分離公理。

與連通空間的關係

給定一個拓撲空間 X，有時考慮子集 A 是否與它的補集分離是有用的。如果 A 要麼為空集要麼為整個空間 X，這當然為真，但是還有其他可能。如果拓撲空間 X 只有這兩種可能性，則 X 是連通的。 反過來說，如果非空子集 A 是分離於它自己的補集，並且如果 A 的子集中，只有空集也有這個性質的，則 A 是 X 的「開連通單元」。(在 X 自身只有空集 {} 的退化情況下，作者們對 {} 是否為連通的和 {} 是否是自身的開連通單元是有分歧的)。

詳情請參見連通空間。

與拓撲可區分點的關係

給定拓撲空間 X，兩個點 x 和 y 是「拓撲可區分」的，如果存在一個開集，其中一點屬於它而另一個點不屬於它。如果 x 和 y 是拓撲可區分的，則單元素集合 {x} 和 {y} 必定是不相交的。在另一方面，如果單元素集合 {x} 和 {y} 是分離的，則點 x 和 y 必定是拓撲可區分的。因為對於單元素集合，拓撲可區分性是在不相交性和可分離性之間的條件。

關於拓撲可區分點的詳情請參見拓撲可區分性。