本條目中，向量 與純量 分別用粗體 與斜體 顯示。例如，位置向量通常用
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
r
{\displaystyle r\,\!}
不同電荷量
q
{\displaystyle q}
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
由於磁場的影響，電子射束 的移動路徑呈圓形。電子經過的路徑會有紫色光發射出來。這是因為電子與玻璃球內的氣體分子碰撞而產生的現象。 在電動力學 裡，勞侖茲力 （Lorentz force）是運動於電磁場 的帶電粒子 所感受到的作用力。勞侖茲力是因荷蘭物理學者亨德里克·勞侖茲 而命名。根據勞侖茲力定律 ，勞侖茲力可以用方程式，稱為勞侖茲力方程式 ，表達為
F
=
q
(
E
+
v
×
B
)
{\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )}
其中，
F
{\displaystyle \mathbf {F} }
q
{\displaystyle q}
電荷量 ，
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
電場 強度，
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
速度 ，
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
磁感應強度 。
勞侖茲力定律是一個基本公理 ，不是從別的理論推導出來的定律，而是由多次重複完成的實驗所得到的同樣的結果。
感受到電場的作用，正電荷會朝著電場的方向加速；但是感受到磁場的作用，按照右手定則 ，正電荷會朝著垂直於速度
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
F
{\displaystyle \mathbf {F} }
勞侖茲力方程式的
q
E
{\displaystyle q\mathbf {E} }
q
v
×
B
{\displaystyle q\mathbf {v} \times \mathbf {B} }
[ 1]
勞侖茲力方程式的積分形式為
F
=
∫
V
(
ρ
E
+
J
×
B
)
d
τ
{\displaystyle \mathbf {F} =\int _{\mathbb {V} }(\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} )\ \mathrm {d} \tau }
其中，
V
{\displaystyle \mathbb {V} }
ρ
{\displaystyle \rho }
電荷密度 ，
J
{\displaystyle \mathbf {J} }
電流密度 ，
d
τ
{\displaystyle \mathrm {d} \tau }
勞侖茲力密度
f
{\displaystyle \mathbf {f} }
f
=
ρ
E
+
ρ
v
×
B
=
ρ
E
+
J
×
B
{\displaystyle \mathbf {f} =\rho \mathbf {E} +\rho \mathbf {v} \times \mathbf {B} =\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} }
亨德里克·勞侖茲 1892年，荷蘭 物理學家亨德里克·勞侖茲 提出勞侖茲力的概念[ 2] 詹姆斯·馬克士威 的1861年論文《論物理力線 》裏的公式（77）：
P
=
μ
γ
d
y
d
t
−
μ
β
d
z
d
t
+
d
F
d
t
−
d
Ψ
d
x
{\displaystyle P=\mu \gamma {\frac {dy}{dt}}-\mu \beta {\frac {dz}{dt}}+{\frac {dF}{dt}}-{\frac {d\Psi }{dx}}}
Q
=
μ
α
d
z
d
t
−
μ
γ
d
x
d
t
+
d
G
d
t
−
d
Ψ
d
y
{\displaystyle Q=\mu \alpha {\frac {dz}{dt}}-\mu \gamma {\frac {dx}{dt}}+{\frac {dG}{dt}}-{\frac {d\Psi }{dy}}}
R
=
μ
β
d
x
d
t
−
μ
α
d
y
d
t
+
d
H
d
t
−
d
Ψ
d
z
{\displaystyle R=\mu \beta {\frac {dx}{dt}}-\mu \alpha {\frac {dy}{dt}}+{\frac {dH}{dt}}-{\frac {d\Psi }{dz}}}
其中，
P
{\displaystyle P}
Q
{\displaystyle Q}
R
{\displaystyle R}
μ
{\displaystyle \mu }
磁導率 ，
d
x
d
t
{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}}
d
y
d
t
{\displaystyle {\frac {dy}{dt}}}
d
z
d
t
{\displaystyle {\frac {dz}{dt}}}
導電體 的移動速度的三個分量，
α
{\displaystyle \alpha }
β
{\displaystyle \beta }
γ
{\displaystyle \gamma }
磁場強度 的三個分量，
F
{\displaystyle F}
G
{\displaystyle G}
H
{\displaystyle H}
磁矢勢 的三個分量，
Ψ
{\displaystyle \Psi }
電位 。
後來，在他的1864年論文《電磁場的動力學理論 》裏，馬克士威將這公式列為馬克士威方程組 的八個原本方程式中的方程式（D）:
E
=
v
×
(
μ
H
)
−
∂
A
∂
t
−
∇
ϕ
{\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {v} \times (\mu \mathbf {H} )-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}-\nabla \phi }
其中，
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
H
{\displaystyle \mathbf {H} }
μ
{\displaystyle \mu }
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
ϕ
{\displaystyle \phi }
很明顯地，馬克士威版是現代版的前導。兩個版本的差別為：
馬克士威版並沒有特意地提到電荷。馬克士威稱物理量
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
電動力 （electromotive force ）。這英文原文與電動勢 的英文原文相同。很多物理學家都對英文原文表示意見，認為會造成困惑，是個相當不精確的術語。從方程式形式和單位分析方面來看，這物理量對應於現代的物理量單位電荷的勞侖茲力。
馬克士威版包含有現在稱為電場的項目，以電位
ϕ
{\displaystyle \phi }
磁向量勢
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
E
=
−
∇
ϕ
−
∂
A
∂
t
{\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}
取旋度 於這表達式，就可以得到法拉第-馬克士威方程式 [ 1]
∇
×
E
=
−
∂
B
∂
t
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}
因此，這表達式等價於法拉第-馬克士威方程式。儘管勞侖茲力方程式來自於原本的一條馬克士威方程式，現在，經過奧利弗·黑維塞 重新表述後的勞侖茲力方程式，不再被視為馬克士威方程組中的一員，而成為伴隨馬克士威方程組的一條獨立基要的定律。 當馬克士威方程組描繪帶電粒子怎樣產生電磁場的同時，勞侖茲力方程式描繪了移動於電磁場的帶電粒子所感受到的電磁力。這使得整個電磁動力的圖畫得以完整。在一個複雜的物理系統裏，帶電粒子可能還會感受到別種作用力，像萬有引力 或核力 。馬克士威方程組並非與這些作用力完全無關；而是通過帶電粒子或電流密度與這些作用力耦合。
對於實際的物質，在原則上和計算的複雜程度上，勞侖茲力方程式都不足以描述一群粒子的物理行為。在物質介質裏的帶電粒子，必須同時地響應和生成電磁場。除此以外，還必須考慮到描述這一群粒子的運動的傳輸方程式，例如，波茲曼傳輸方程式 （Boltzmann equation ）、福克-普朗克方程式 [ 3] Fokker–Planck equation ）、納維-斯托克斯方程式 、等等。請參閱磁流體力學 、超導現象 、恆星演化 、等等。在這些學術領域研究的科學家必須解析複雜的傳輸方程式，求得帶電粒子在時間和空間方面的響應。
或許有些讀者會認為這些理論只是靠著近似來處理一個大系綜 的帶電粒子。從更深的層面來看，帶電粒子也會對非電磁力，像萬有引力，核力或邊界條件 等等，產生響應。
給予作用於粒子的勞侖茲力的公式，將這公式代入牛頓第二運動定律 ，可以得到粒子的運動方程式 。解析這運動方程式，就可以找到粒子的運動軌道。
移動於均勻磁場
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
在一個簡單的迴旋加速器 內，均勻磁場是
B
=
B
0
z
^
{\displaystyle \mathbf {B} =B_{0}{\hat {\mathbf {z} }}}
q
{\displaystyle q}
F
{\displaystyle \mathbf {F} }
F
=
q
v
×
B
{\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {v} \times \mathbf {B} }
將這公式代入牛頓第二運動定律 ，
m
a
=
q
v
×
B
{\displaystyle m\mathbf {a} =q\mathbf {v} \times \mathbf {B} }
其中，
m
{\displaystyle m}
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
由於帶電粒子的加速度與速度互相垂直，帶電粒子呈圓周運動。假設粒子帶有正電荷，則這公式的一般解答為
r
=
r
c
(
cos
ω
t
,
−
sin
ω
t
,
0
)
{\displaystyle \mathbf {r} =r_{c}(\cos \omega t,\,-\sin \omega t,\,0)}
其中，
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
r
c
{\displaystyle r_{c}}
ω
=
q
B
/
m
{\displaystyle \omega =qB/m}
t
{\displaystyle t}
移動於朝著正上方的均勻磁場，負電荷的等速螺旋運動軌道。 朝著均勻磁場方向看，帶電粒子會以反時針方向 ，呈等速率圓周運動。給予初始速率
v
0
{\displaystyle v_{0}}
r
c
=
v
0
/
ω
=
m
v
0
/
q
B
{\displaystyle r_{c}=v_{0}/\omega =mv_{0}/qB}
這圓周半徑稱為迴旋半徑 （cyclotron radius ）或拉莫半徑 （Larmor radius ）。
ω
=
q
B
/
m
{\displaystyle \omega =qB/m}
迴旋頻率 （cyclotron frequency ）。
帶電粒子的動量
p
0
{\displaystyle p_{0}}
p
0
=
m
v
0
=
q
B
r
c
{\displaystyle p_{0}=mv_{0}=qBr_{c}}
假設粒子帶有負電荷，則運動方向會逆反，改為順時針方向 。
假設初始速度有一個z-分量
v
z
0
{\displaystyle v_{z0}}
螺旋運動 。
在均勻磁場內，帶電粒子的漂移運動。（A）沒有任何外力（B）加入外電場
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
F
{\displaystyle \mathbf {F} }
地心重力 ，（D））磁場改為不均勻，
∇
B
{\displaystyle \nabla \mathbf {B} }
對於很多有意思的、比較複雜的實際案例，在磁場內運動的帶電粒子（例如，電漿 的電子 或離子 ），可以分為兩部分處理。這兩部分的疊加 ，足以描述這帶電粒子的物理行為。第一部分是速度比較快的，環繞著某一點的圓周運動。環繞之點稱為導向中心（guiding center ）。另一部分是導向中心的漂移運動。其速度比較慢，會因不同種類的粒子而不同，又跟其電荷量、質量或溫度有關。不同的漂移速度可能會造成電流或化學分離。
許多古典電磁學教科書會用勞侖茲力定律來定義電場和磁場。
假設檢驗電荷靜止不動，
v
=
0
{\displaystyle \mathbf {v} =0}
F
=
q
E
{\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} }
採用國際單位制 ，假設檢驗電荷的電量為1庫侖 ，作用於檢驗電荷的勞倫茲力為1牛頓 ，則檢驗電荷感受到的電場為1牛頓／庫侖。
假設電場為零，則作用於電荷
q
{\displaystyle q}
F
=
q
v
×
B
{\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {v} \times \mathbf {B} }
對於一條線電荷密度為
λ
{\displaystyle \lambda }
F
=
∫
C
v
×
B
d
q
=
∫
C
v
×
B
λ
d
ℓ
=
∫
C
I
×
B
d
ℓ
{\displaystyle \mathbf {F} =\int _{\mathbb {C} }\mathbf {v} \times \mathbf {B} \mathrm {d} q=\int _{\mathbb {C} }\mathbf {v} \times \mathbf {B} \lambda \mathrm {d} \ell =\int _{\mathbb {C} }\mathbf {I} \times \mathbf {B} \mathrm {d} \ell }
其中，
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
I
=
λ
v
{\displaystyle \mathbf {I} =\lambda \mathbf {v} }
假設電流是穩定電流，則可以將電流從積分內提出，用向量
d
ℓ
{\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}
I
{\displaystyle \mathbf {I} }
F
=
I
∫
C
d
ℓ
×
B
{\displaystyle \mathbf {F} =I\int _{\mathbb {C} }\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {B} }
這公式給出了，在磁場內，載流導線感受到的磁場力。
使用這公式和必歐-沙伐定律 ，就可以推導出安培力定律 （詳盡細節，請參閱安培力定律 ）。
假設，磁場是均勻磁場，積分路徑是垂直於磁場的直線，則
F
=
I
L
B
{\displaystyle F=ILB}
其中，
L
{\displaystyle L}
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
採用國際單位制，假設檢驗電流為1安培 ，作用於載流導線的單位長度的勞侖茲力為1牛頓 /公尺 ，則檢驗電流感受到的磁場為1特士拉 。
一條長度為
L
{\displaystyle L}
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
許多發電機 的基本運作原理涉及動生電動勢 概念。將導線移動於磁場，則會產生電動勢 ，稱為動生電動勢 。如圖右[ 4]
L
{\displaystyle L}
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
q
{\displaystyle q}
F
l
o
r
e
n
t
z
{\displaystyle \mathbf {F} _{lorentz}}
F
l
o
r
e
n
t
z
=
q
v
×
B
{\displaystyle \mathbf {F} _{lorentz}=q\mathbf {v} \times \mathbf {B} }
在這裡，勞侖茲力也是磁場力 。因為這磁場力的作用，正電荷會往導線的上端移動，負電荷會往導線的下端移動。在穩定平衡狀態，這會感應出一個電場
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
E
=
−
v
×
B
{\displaystyle \mathbf {E} =-\mathbf {v} \times \mathbf {B} }
電動勢定義為造成開路電路的兩個終端的電位差，對於每單位電荷所需作的功。所以，動生電動勢
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
E
=
∫
L
F
l
o
r
e
n
t
z
q
⋅
d
ℓ
=
v
B
L
{\displaystyle {\mathcal {E}}=\int _{L}{\frac {\mathbf {F_{lorentz}} }{q}}\cdot d{\boldsymbol {\ell }}=vBL}
在這個例子裏，穩定平衡狀態時的電流等於零。假設載流導線與其他原件連結成一個電路，則會因為動生電動勢而產生電流。例如，將一個電阻
R
{\displaystyle R}
I
{\displaystyle I}
I
=
E
/
R
=
v
B
L
/
R
{\displaystyle I={\mathcal {E}}/R=vBL/R}
在時間
t
{\displaystyle t}
∂
Σ
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
Σ
(
t
)
{\displaystyle \Sigma (t)}
Σ
(
t
)
{\displaystyle \Sigma (t)}
B
(
r
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}
一個以常速度
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
B
(
r
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}
∂
Σ
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
法拉第電磁感應定律闡明，穿過任意閉迴路的磁通量 的變化率，與這迴路的電動勢成正比：
E
=
−
d
Φ
B
d
t
{\displaystyle {\mathcal {E}}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}}
其中，
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
Φ
B
{\displaystyle \Phi _{B}}
t
{\displaystyle t}
在時間
t
{\displaystyle t}
Σ
(
t
)
{\displaystyle \Sigma (t)}
Φ
B
(
t
)
{\displaystyle \Phi _{B}(t)}
Φ
B
(
t
)
=
d
e
f
∫
Σ
(
t
)
B
(
r
,
t
)
⋅
d
a
{\displaystyle \Phi _{B}(t)\ {\stackrel {def}{=}}\ \int _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot d\mathbf {a} }
其中，
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
d
a
{\displaystyle d\mathbf {a} }
給予一個以常速度
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
∂
Σ
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
全微分 是[ 5]
d
Φ
B
(
t
)
=
∫
Σ
(
t
+
d
t
)
B
(
r
,
t
+
d
t
)
⋅
d
a
−
∫
Σ
(
t
)
B
(
r
,
t
)
⋅
d
a
=
∫
Σ
(
t
+
d
t
)
B
(
r
,
t
)
⋅
d
a
+
∫
Σ
(
t
+
d
t
)
∂
B
(
r
,
t
)
∂
t
d
t
⋅
d
a
−
∫
Σ
(
t
)
B
(
r
,
t
)
⋅
d
a
=
∫
Σ
(
t
+
d
t
)
∂
B
(
r
,
t
)
∂
t
d
t
⋅
d
a
+
∫
Σ
t
o
t
a
l
B
(
r
,
t
)
⋅
d
a
−
∫
Σ
r
i
b
b
o
n
B
(
r
,
t
)
⋅
d
a
{\displaystyle {\begin{aligned}d\Phi _{B}(t)&=\int _{\Sigma (t+dt)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t+dt)\cdot d\mathbf {a} -\int _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot d\mathbf {a} \\&=\int _{\Sigma (t+dt)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot d\mathbf {a} +\int _{\Sigma (t+dt)}{\frac {\partial \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t}}dt\cdot d\mathbf {a} -\int _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot d\mathbf {a} \\&=\int _{\Sigma (t+dt)}{\frac {\partial \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t}}dt\cdot d\mathbf {a} +\int _{\Sigma _{total}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot d\mathbf {a} -\int _{\Sigma _{ribbon}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot d\mathbf {a} \\\end{aligned}}}
； 其中，
Σ
(
t
)
{\displaystyle \Sigma (t)}
∂
Σ
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
Σ
t
o
t
a
l
{\displaystyle \Sigma _{total}}
Σ
(
t
+
d
t
)
{\displaystyle \Sigma (t+dt)}
−
Σ
(
t
)
{\displaystyle -\Sigma (t)}
Σ
r
i
b
b
o
n
{\displaystyle \Sigma _{ribbon}}
Σ
r
i
b
b
o
n
{\displaystyle \Sigma _{ribbon}}
∂
Σ
(
t
+
d
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t+dt)}
∂
Σ
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
根據散度定理 和高斯磁定律 ，
∫
Σ
t
o
t
a
l
B
⋅
d
a
=
∫
V
t
o
t
a
l
∇
⋅
B
d
τ
=
0
{\displaystyle \int _{\Sigma _{total}}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {a} =\int _{\mathbb {V} _{total}}\nabla \cdot \mathbf {B} d\tau =0}
其中，
V
t
o
t
a
l
{\displaystyle \mathbb {V} _{total}}
Σ
t
o
t
a
l
{\displaystyle \Sigma _{total}}
d
τ
{\displaystyle d\tau }
通過邊緣曲面
Σ
r
i
b
b
o
n
{\displaystyle \Sigma _{ribbon}}
∫
Σ
r
i
b
b
o
n
B
⋅
d
a
=
∫
∂
Σ
(
t
)
B
⋅
[
d
ℓ
×
(
v
d
t
)
]
=
∫
∂
Σ
(
t
)
[
(
v
d
t
)
×
B
]
⋅
d
ℓ
{\displaystyle \int _{\Sigma _{ribbon}}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {a} =\int _{\partial \Sigma (t)}\mathbf {B} \cdot [d{\boldsymbol {\ell }}\times (\mathbf {v} dt)]=\int _{\partial \Sigma (t)}[(\mathbf {v} dt)\times \mathbf {B} ]\cdot d{\boldsymbol {\ell }}}
所以，磁通量對於時間的全導數，或磁通量的變化率為
d
Φ
B
(
t
)
d
t
=
∫
Σ
(
t
+
d
t
)
∂
B
(
r
,
t
)
∂
t
⋅
d
a
−
∫
∂
Σ
(
t
)
v
×
B
⋅
d
ℓ
{\displaystyle {\frac {d\Phi _{B}(t)}{dt}}=\int _{\Sigma (t+dt)}{\frac {\partial \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t}}\cdot d\mathbf {a} -\int _{\partial \Sigma (t)}\mathbf {v} \times \mathbf {B} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}}
運動於移動的閉迴路
∂
Σ
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
q
{\displaystyle q}
w
{\displaystyle \mathbf {w} }
w
=
u
+
v
{\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {u} +\mathbf {v} }
其中，
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
∂
Σ
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
∂
Σ
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
這電荷會感受到勞侖茲力
F
=
q
(
E
+
w
×
B
)
{\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {w} \times \mathbf {B} )}
電動勢
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
E
=
d
e
f
∫
∂
Σ
F
q
⋅
d
ℓ
=
∫
∂
Σ
(
E
+
w
×
B
)
⋅
d
ℓ
{\displaystyle {\mathcal {E}}\ {\stackrel {def}{=}}\ \int _{\partial \Sigma }{\frac {\mathbf {F} }{q}}\cdot d{\boldsymbol {\ell }}=\int _{\partial \Sigma }(\mathbf {E} +\mathbf {w} \times \mathbf {B} )\cdot d{\boldsymbol {\ell }}}
根據法拉第電磁感應定律，
E
=
−
d
Φ
B
d
t
=
∫
∂
Σ
(
E
+
w
×
B
)
⋅
d
ℓ
{\displaystyle {\mathcal {E}}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}=\int _{\partial \Sigma }(\mathbf {E} +\mathbf {w} \times \mathbf {B} )\cdot d{\boldsymbol {\ell }}}
在計算積分時，閉迴路
∂
Σ
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
d
ℓ
{\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}}
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
d
Φ
B
(
t
)
d
t
=
−
∫
∂
Σ
(
E
+
v
×
B
)
⋅
d
ℓ
{\displaystyle {\frac {d\Phi _{B}(t)}{dt}}=-\int _{\partial \Sigma }(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\cdot d{\boldsymbol {\ell }}}
令兩個磁通量變化率的方程式相等，除去同有的移動的閉迴路項目，則可得到
∫
∂
Σ
E
⋅
d
ℓ
=
−
∫
Σ
∂
B
∂
t
⋅
d
a
{\displaystyle \int _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}=-\int _{\Sigma }{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot d\mathbf {a} }
應用斯托克斯定理 ，
∫
∂
Σ
E
⋅
d
ℓ
=
∫
Σ
∇
×
E
⋅
d
a
{\displaystyle \int _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}=\int _{\Sigma }\nabla \times \mathbf {E} \cdot d\mathbf {a} }
∫
Σ
(
∇
×
E
+
∂
B
∂
t
)
⋅
d
a
=
0
{\displaystyle \int _{\Sigma }\left(\nabla \times \mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right)\cdot d\mathbf {a} =0}
由於
Σ
{\displaystyle \Sigma }
∇
×
E
=
−
∂
B
∂
t
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}
這是馬克士威-法拉第方程式 。由於這方程式的右手邊是個對於時間的偏導數項目，只涉及固定的閉迴路，不能用來計算移動中的閉迴路。
用馬克士威-法拉第方程式，通常對於時間的偏導數的詮釋只限制為固定邊界。而在另一方面，不論導線的閉迴路是剛硬固定的、是在運動中、是在形變 過程中，不論磁場是不含時的或含時的，法拉第電磁感應定律都成立。但是，對於某些案例，法拉第電磁感應定律並不適用或使用起來很困難。這時候，必須使用勞侖茲力定律。詳盡細節，請參閱法拉第電磁感應定律不適用案例 。
假設閉迴路移動於不含時間的磁場
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
Φ
B
{\displaystyle \Phi _{B}}
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
Φ
B
{\displaystyle \Phi _{B}}
定向 改變，由於微小元素
B
⋅
d
A
{\displaystyle \mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} }
Φ
B
{\displaystyle \Phi _{B}}
Φ
B
{\displaystyle \Phi _{B}}
d
Φ
B
d
t
{\displaystyle {\frac {d\Phi _{B}}{dt}}}
對比前面所述狀況，假設固定的閉迴路處於含時磁場
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
q
E
{\displaystyle q\mathbf {E} }
Φ
B
{\displaystyle \Phi _{B}}
d
Φ
B
d
t
{\displaystyle {\frac {d\Phi _{B}}{dt}}}
根據亥姆霍茲分解 （Helmholtz decomposition ），電場和磁場可以用電位
ϕ
{\displaystyle \phi }
磁向量勢
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
E
=
−
∇
ϕ
−
∂
A
∂
t
{\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}
B
=
∇
×
A
{\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }
其中∇為梯度，∇⋅ 為散度，∇× 為旋度 。
將這兩個公式代入勞侖茲力方程式，則可得到
F
=
q
[
−
∇
ϕ
−
∂
A
∂
t
+
v
×
(
∇
×
A
)
]
{\displaystyle \mathbf {F} =q\left[-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {A} )\right]}
可以化簡為
F
=
q
[
−
∇
ϕ
−
∂
A
∂
t
+
∇
(
v
⋅
A
)
−
(
v
⋅
∇
)
A
]
{\displaystyle \mathbf {F} =q\left[-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\nabla (\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} )-(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {A} \right]}
定義粒子的四維速度
u
β
{\displaystyle u_{\beta }}
u
β
=
d
e
f
(
u
0
,
u
1
,
u
2
,
u
3
)
=
γ
(
c
,
−
v
x
,
−
v
y
,
−
v
z
)
{\displaystyle u_{\beta }\ {\stackrel {def}{=}}\ (u_{0},\,u_{1},\,u_{2},\,u_{3})=\gamma (c,\,-v_{x},\,-v_{y},\,-v_{z})}
其中，
γ
{\displaystyle \gamma }
勞侖茲因子 ，
c
{\displaystyle c}
v
=
(
v
x
,
v
y
,
v
z
)
{\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},\,v_{y},\,v_{z})}
定義電磁場張量
F
α
β
{\displaystyle F^{\alpha \beta }}
F
α
β
=
d
e
f
[
0
−
E
x
/
c
−
E
y
/
c
−
E
z
/
c
E
x
/
c
0
−
B
z
B
y
E
y
/
c
B
z
0
−
B
x
E
z
/
c
−
B
y
B
x
0
]
{\displaystyle F^{\alpha \beta }\ {\stackrel {def}{=}}\ {\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}}
其中，
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
結合牛頓運動定律 與勞侖茲力定律在一起，以電磁場張量 寫為反變形式 （contravariant form ）：
d
p
α
d
τ
=
q
u
β
F
α
β
{\displaystyle {\frac {dp^{\alpha }}{d\tau }}=qu_{\beta }F^{\alpha \beta }}
其中，
p
α
{\displaystyle p^{\alpha }}
四維動量 ，
τ
{\displaystyle \tau }
固有時 。
應用勞侖茲變換 ，電磁場張量可以從一個參考系
S
{\displaystyle S}
S
¯
{\displaystyle {\bar {S}}}
F
¯
μ
ν
=
Λ
μ
α
Λ
ν
β
F
α
β
{\displaystyle {\bar {F}}^{\mu \nu }={\Lambda ^{\mu }}_{\alpha }{\Lambda ^{\nu }}_{\beta }F^{\alpha \beta }}
其中，
Λ
μ
α
{\displaystyle {\Lambda ^{\mu }}_{\alpha }}
Λ
ν
β
{\displaystyle {\Lambda ^{\nu }}_{\beta }}
換另一種方法，定義四維勢
A
α
{\displaystyle A^{\alpha }}
A
α
=
d
e
f
(
ϕ
/
c
,
A
x
,
A
y
,
A
z
)
{\displaystyle A^{\alpha }\ {\stackrel {def}{=}}\ (\phi /c,\,A_{x},\,A_{y},\,A_{z})}
其中，
ϕ
{\displaystyle \phi }
電位 ，
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
磁向量勢 。
定義四維坐標
x
α
{\displaystyle x_{\alpha }}
x
α
=
d
e
f
(
c
t
,
−
x
,
−
y
,
−
z
)
{\displaystyle x_{\alpha }\ {\stackrel {def}{=}}\ (ct,\,-x,\,-y,\,-z)}
那麼，電磁場張量為[ 1]
F
α
β
=
∂
A
β
∂
x
α
−
∂
A
α
∂
x
β
{\displaystyle F^{\alpha \beta }={\frac {\partial A^{\beta }}{\partial x_{\alpha }}}-{\frac {\partial A^{\alpha }}{\partial x_{\beta }}}}
先計算四維力 （four-force ）的
μ
=
1
{\displaystyle \mu =1}
γ
d
p
1
d
t
=
d
p
1
d
τ
=
q
u
β
F
1
β
=
q
(
u
0
F
10
+
u
1
F
11
+
u
2
F
12
+
u
3
F
13
)
{\displaystyle \gamma {\frac {dp^{1}}{dt}}={\frac {dp^{1}}{d\tau }}=qu_{\beta }F^{1\beta }=q\left(u_{0}F^{10}+u_{1}F^{11}+u_{2}F^{12}+u_{3}F^{13}\right)}
將電磁場張量的分量代入，可以得到
γ
d
p
1
d
t
=
q
(
u
0
(
E
x
c
)
+
u
2
(
−
B
z
)
+
u
3
(
B
y
)
)
{\displaystyle \gamma {\frac {dp^{1}}{dt}}=q\left(u_{0}\left({\frac {E_{x}}{c}}\right)+u_{2}(-B_{z})+u_{3}(B_{y})\right)}
再將四維速度的分量代入，則會得到
γ
d
p
1
d
t
=
q
γ
(
c
(
E
x
c
)
+
v
y
B
z
−
v
z
B
y
)
=
q
γ
[
E
x
+
(
v
×
B
)
x
]
{\displaystyle \gamma {\frac {dp^{1}}{dt}}=q\gamma \left(c\left({\frac {E_{x}}{c}}\right)+v_{y}B_{z}-v_{z}B_{y}\right)=q\gamma [E_{x}+(\mathbf {v} \times \mathbf {B} )_{x}]}
類似地，可以計算出四維力的
μ
=
2
{\displaystyle \mu =2}
μ
=
3
{\displaystyle \mu =3}
d
p
d
t
=
q
(
E
+
v
×
B
)
{\displaystyle {\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )}
^ 1.0 1.1 1.2 Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 204, 326, 417, 541. ISBN 0-13-805326-X ^ Darrigol, Olivier, Electrodynamics from Ampère to Einstein, Oxford, [England]: Oxford University Press: 327, 2000, ISBN 0-198-50593-0 ^ 福克-普朗克方程 . 維基百科，自由的百科全書. 2015-12-13 （中文） . ^ Tai L. Chow. Electromagnetic theory. Sudbury MA: Jones and Bartlett. 2006: pp. 172-175. ISBN 0-7637-3827-1 ^ Flanders, Harley. Differentiation under the integral sign. American Mathematical Monthly. Jun–Jul 1973, 80 (6): 615–627. doi:10.2307/2319163
National High Magnetic Field Laboratory的Java互動教學網頁：勞侖茲力 。
![{\displaystyle \int _{\Sigma _{ribbon}}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {a} =\int _{\partial \Sigma (t)}\mathbf {B} \cdot [d{\boldsymbol {\ell }}\times (\mathbf {v} dt)]=\int _{\partial \Sigma (t)}[(\mathbf {v} dt)\times \mathbf {B} ]\cdot d{\boldsymbol {\ell }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9bf013db477d4f760b8ffab60c2304b453c720b)
![{\displaystyle \mathbf {F} =q\left[-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {A} )\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91a8cb8954da8ad9451ab18ed4b0fdc3a15ac32e)
![{\displaystyle \mathbf {F} =q\left[-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\nabla (\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} )-(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {A} \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7fd3adddbdfb95797d11ef6167ecda4efe3e0b9)
![{\displaystyle \gamma {\frac {dp^{1}}{dt}}=q\gamma \left(c\left({\frac {E_{x}}{c}}\right)+v_{y}B_{z}-v_{z}B_{y}\right)=q\gamma [E_{x}+(\mathbf {v} \times \mathbf {B} )_{x}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86439c13350462c759da37bb4d0bdbaac632d53d)
