# 誘導公式

## 公式一（函數關於2π的周期性）

• ${\displaystyle \sin(2k\pi +\alpha )=\sin \alpha ,k\in \mathbb {Z} }$
• ${\displaystyle \cos(2k\pi +\alpha )=\cos \alpha ,k\in \mathbb {Z} }$
• ${\displaystyle \tan(2k\pi +\alpha )=\tan \alpha ,k\in \mathbb {Z} }$
• ${\displaystyle \cot(2k\pi +\alpha )=\cot \alpha ,k\in \mathbb {Z} }$
• ${\displaystyle \sec(2k\pi +\alpha )=\sec \alpha ,k\in \mathbb {Z} }$
• ${\displaystyle \csc(2k\pi +\alpha )=\csc \alpha ,k\in \mathbb {Z} }$

## 公式二（函數關於π的周期性）

• ${\displaystyle \sin(\pi +\alpha )=-\sin \alpha }$
• ${\displaystyle \cos(\pi +\alpha )=-\cos \alpha }$
• ${\displaystyle \tan(\pi +\alpha )=\tan \alpha }$
• ${\displaystyle \cot(\pi +\alpha )=\cot \alpha }$
• ${\displaystyle \sec(\pi +\alpha )=-\sec \alpha }$
• ${\displaystyle \csc(\pi +\alpha )=-\csc \alpha }$

## 公式三（函數的奇偶性）

• ${\displaystyle \sin(-\alpha )=-\sin \alpha }$
• ${\displaystyle \cos(-\alpha )=\cos \alpha }$
• ${\displaystyle \tan(-\alpha )=-\tan \alpha }$
• ${\displaystyle \cot(-\alpha )=-\cot \alpha }$
• ${\displaystyle \sec(-\alpha )=\sec \alpha }$
• ${\displaystyle \csc(-\alpha )=-\csc \alpha }$

## 公式四（在單位圓中各三角函數線關於y軸的對稱性）

• ${\displaystyle \sin(\pi -\alpha )=\sin \alpha }$
• ${\displaystyle \cos(\pi -\alpha )=-\cos \alpha }$
• ${\displaystyle \tan(\pi -\alpha )=-\tan \alpha }$
• ${\displaystyle \cot(\pi -\alpha )=-\cot \alpha }$
• ${\displaystyle \sec(\pi -\alpha )=-\sec \alpha }$
• ${\displaystyle \csc(\pi -\alpha )=\csc \alpha }$

## 公式五（可看作在直角三角形中的轉換）

• ${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\cos \alpha }$
• ${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\sin \alpha }$
• ${\displaystyle \tan \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\cot \alpha }$
• ${\displaystyle \cot \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\tan \alpha }$
• ${\displaystyle \sec \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\csc \alpha }$
• ${\displaystyle \csc \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\sec \alpha }$

## 公式六

• ${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=\cos \alpha }$
• ${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=-\sin \alpha }$
• ${\displaystyle \tan \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=-\cot \alpha }$
• ${\displaystyle \cot \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=-\tan \alpha }$
• ${\displaystyle \sec \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=-\csc \alpha }$
• ${\displaystyle \csc \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=\sec \alpha }$

## 公式七

• ${\displaystyle \sin \left({\frac {3\pi }{2}}-\alpha \right)=-\cos \alpha }$
• ${\displaystyle \cos \left({\frac {3\pi }{2}}-\alpha \right)=-\sin \alpha }$
• ${\displaystyle \tan \left({\frac {3\pi }{2}}-\alpha \right)=\cot \alpha }$
• ${\displaystyle \cot \left({\frac {3\pi }{2}}-\alpha \right)=\tan \alpha }$
• ${\displaystyle \sec \left({\frac {3\pi }{2}}-\alpha \right)=-\csc \alpha }$
• ${\displaystyle \csc \left({\frac {3\pi }{2}}-\alpha \right)=-\sec \alpha }$

## 公式八

• ${\displaystyle \sin \left({\frac {3\pi }{2}}+\alpha \right)=-\cos \alpha }$
• ${\displaystyle \cos \left({\frac {3\pi }{2}}+\alpha \right)=\sin \alpha }$
• ${\displaystyle \tan \left({\frac {3\pi }{2}}+\alpha \right)=-\cot \alpha }$
• ${\displaystyle \cot \left({\frac {3\pi }{2}}+\alpha \right)=-\tan \alpha }$
• ${\displaystyle \sec \left({\frac {3\pi }{2}}+\alpha \right)=\csc \alpha }$
• ${\displaystyle \csc \left({\frac {3\pi }{2}}+\alpha \right)=-\sec \alpha }$

## 內在聯繫

• ${\displaystyle \sin \left({\frac {k\pi }{2}}\pm \alpha \right),k\in \mathbb {Z} }$
• ${\displaystyle \cos \left({\frac {k\pi }{2}}\pm \alpha \right),k\in \mathbb {Z} }$
• ${\displaystyle \tan \left({\frac {k\pi }{2}}\pm \alpha \right),k\in \mathbb {Z} }$
• ${\displaystyle \cot \left({\frac {k\pi }{2}}\pm \alpha \right),k\in \mathbb {Z} }$
• ${\displaystyle \sec \left({\frac {k\pi }{2}}\pm \alpha \right),k\in \mathbb {Z} }$
• ${\displaystyle \csc \left({\frac {k\pi }{2}}\pm \alpha \right),k\in \mathbb {Z} }$

• 第一象限的 A 即是 All（全部皆正）。
• 第二象限的 S 即是 Sine & CoSecant（正弦以及餘割為正）。
• 第三象限的 T 即是 Tangent & Cotangent（正切以及餘切為正）。
• 第四象限的 C 即是 Cosine & SeCant（餘弦以及正割為正）。