三等分角

三等分角無法按照尺規作圖的規定作出，但如果藉助另外的工具或放寬尺規作圖的限制，三等分角是可行的

三等分角是古希臘平面幾何里尺規作圖領域中的著名問題，與化圓為方及倍立方問題並列為尺規作圖三大難題。尺規作圖是古希臘人的數學研究課題之一，是對具體的直尺和圓規畫圖可能性的抽象化，研究是否能用規定的作圖法在有限步內達到給定的目標。三等分角問題的內容是：「能否僅用尺規作圖法將任意角度三等分？」

三等分角問題提出後，在漫長的兩千餘年中，曾有眾多的嘗試，但沒有人能夠給出嚴格的答案 。隨著十九世紀群論和域論的發展，法國數學家皮埃爾·汪策爾首先利用伽羅瓦理論證明，這個問題的答案是否定的：不存在僅用尺規作圖法將任意角度三等分的通法。具體來說，汪策爾研究了給定單位長度後，能夠用尺規作圖法所能達到的長度值。所有能夠經由尺規作圖達到的長度值被稱為規矩數，而汪策爾證明了，如果能夠三等分任意角度，那麼就能做出不屬於規矩數的長度，從而反證出通過尺規三等分任意角是不可能的。

如果不將手段局限在尺規作圖法中，放寬限制或藉助更多的工具的話，三等分任意角是可能的。然而，作為數學問題本身，由於三等分角問題表述簡單，而證明困難，並用到了高等的數學方法，在已被證明不可能實現後，仍然有許多人嘗試給出肯定的證明。

背景簡介

尺規作圖法

主條目：尺規作圖

在敘述三等分問題前，首先需要介紹尺規作圖的意思。尺規作圖問題是從現實中具體的「直尺和圓規畫圖可能性」問題抽象出來的數學問題，將現實中的直尺和圓規抽象為數學上的設定，研究的是能不能在若干個具體限制之下，在有限的步驟內作出給定的圖形、結構或其他目標的問題。在尺規作圖中，直尺和圓規的定義是：

直尺：一側為無窮長的直線，沒有刻度也無法標識刻度的工具。只可以讓筆摹下這個直線的全部或一部分。

圓規：由兩端點構成的工具。可以在保持兩個端點之間的距離不變的情況下，固定其中一個端點，讓另一個端點移動，作出圓弧或圓。兩個端點之間的距離只能取已經作出的兩點之間的距離，或者任意一個未知的距離。

定義了直尺和圓規的特性後，所有的作圖步驟都可以歸化為五種基本的步驟，稱為作圖公法：

• 通過兩個已知點，作一直線。
• 已知圓心和半徑，作一個圓。
• 若兩已知直線相交，確定其交點。
• 若已知直線和一已知圓相交，確定其交點。
• 若兩已知圓相交，確定其交點。

尺規作圖研究的，就是是否能夠通過以上五種步驟的有限次重複，達到給定的作圖目標。尺規作圖問題常見的形式是：「給定某某條件，能否用尺規作出某某對象？」比如：「給定一個圓，能否用尺規作出這個圓的圓心？」等等。

問題敘述

三等分角問題的完整敘述是：

“ 任意給定一個角，是否能夠通過以上說明的五種基本步驟，於有限次內作出另一個角，等於這個角的三分之一？ ”

關於這個敘述中的用詞和術語，需要一一作出定義。「角」可以有兩種等價的定義：一個角可以是由一點和從它出發的兩條射線構成的集合，也可以是由三點和連接它們的兩條線段構成的集合。以下的敘述中採取第二個定義，用三個大寫英文字母或一個希臘字母表示一個角。角AOB指的是由三點A, O, B以及線段AO和OB構成的集合，也可以直接用一個希臘字母如α表示。兩個角AOB和A'O'B'相等，指的是以下條件：如果將線段OA沿點A延長為射線，在上面作一點C使得OC $=$ O'A'，同時將線段OB沿點B延長為射線，在上面作一點D使得OD $=$ O'B'，則CD $=$ A'B'。

一個角α等於另一個角β的三分之一，指的是角β等於角α的三倍。而一個角AOB等於角AOC的k倍（k > 1為自然數），指的是可以找到點B₁, B₂, ... , B_k等，使得k個角AOB₁, B₁OB₂, ... , B_k-1OB_k都等於AOC，並且點B_k就是點B。

二等分角問題

尺規二等分任意角度的過程

與三等分角問題相比，用尺規作圖將任意角二等分要容易得多。右圖具體說明了二等分一個角的步驟。依照類似的步驟，也能夠將任意角四等分、八等分……但直到十九世紀，隨著群論和伽羅瓦理論的出現，數學家們才認識到二等分角和三等分角本質上的不同。在現代數學語言中，更常用域擴張的理論來論述三等分角的問題。從證明三等分角的過程中可以知道，尺規作圖的方法不但不能三等分任意角，也不能將任意角五等分、七等分、九等分、十一等分。其理由涉及到直線和圓的解析性質。

不可能性的證明

主條目：規矩數

1837年，法國數學家汪策爾證明了，三等分角問題是沒有辦法完成的。

三等分角問題提出後，有許多基於平面幾何的論證和嘗試，但在十九世紀以前，一直沒有完整的解答。沒有人能夠給出將任意角度三等分的確實做法，但開始懷疑其可能性的人之中，也沒有人能夠證明這樣的做法一定不存在。直到十九世紀後，伽羅瓦和阿貝爾(全名:尼爾斯·阿貝爾)開創了以群論來討論有理係數多項式方程之解的方法，人們才認識到三等分角問題的本質。

尺規可作性和規矩數

在研究各種尺規作圖問題的時候，數學家們留意到，能否用尺規作出特定的圖形或目標，本質是能否作出符合的長度。引進直角坐標系和解析幾何以後，又可以將長度解釋為坐標。比如說，作出一個圓，實際上是作出圓心的位置（坐標）和半徑的長度。作出特定的某個交點或某條直線，實際上是找出它們的坐標、斜率和截距。為此，數學家引入了尺規可作性這一概念。假設平面上有兩個已知的點O和A，以OA為單位長度，射線OA為x-軸正向可以為平面建立一個標準直角坐標系，平面中的點可以用橫坐標和縱坐標表示，整個平面可以等價於$\mathbb {R} ^{2}$。

設E是$\mathbb {R} ^{2}$的一個非空子集。如果某直線${\mathcal {l}}$經過E中不同的兩點，就說${\mathcal {l}}$是E-尺規可作的，簡稱E-可作。同樣地，如果某個圓${\mathcal {C}}$的圓心和圓上的某個點是E中的元素，就說${\mathcal {C}}$是E-可作的。進一步地說，如果$\mathbb {R} ^{2}$里的某個點P是某兩個E-可作的直線或圓的交點（直線－直線、直線－圓以及圓－圓），就說點P是E-可作的。這樣的定義是基於五個基本步驟得來的，包括了尺規作圖中從已知條件得到新元素的五種基本方法。如果將所有E-尺規可作的點的集合記作s(E)，那麼當E中包含超過兩個點的時候，E肯定是s(E)的真子集。從某個點集E₀開始，經過一步能作出的點構成集合E₁ $=$ s(E)，經過兩步能作出的點就是E₂ $=$ s(E₁)，……以此類推，經過n步能作出的點集就是E_n $=$ s(E_n-1)。而所有從E能尺規作出的點集就是：

$C(\mathrm {E} _{0})=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\mathrm {E} _{n}$。

另一個與尺規可作性相關的概念是規矩數。設H是從集合E₀ $=$ {(0,0), (0,1)}開始，尺規可作點的集合：H $=$ C(E₀)，那麼規矩數定義為H中的點的橫坐標和縱坐標表示的數。

定義：實數a和b是規矩數若且唯若(a, b)是H中的一個點。

可以證明，有理數集$\mathbb {Q}$是所有規矩數構成的集合K的子集，而K又是實數集$\mathbb {R}$的子集。另外，為了在複數集$\mathbb {C}$內討論問題，也會將平面$\mathbb {R} ^{2}$看作複平面$\mathbb {C}$，同時定義一個複數a+bi是（復）規矩數若且唯若點(a, b)是H中的一個點。所有復規矩數構成的集合L也包含$\mathbb {Q}$作為子集，並且是複數集$\mathbb {C}$的子集。從尺規可作性到解析幾何下的規矩數，三等分角問題從幾何問題轉成了代數的問題。

域的擴張與最小多項式

主條目：域擴張和最小多項式

以集合的觀念來說，L與$\mathbb {Q}$、$\mathbb {C}$之間是子集與包含的關係。以抽象代數的觀點來說，可以證明L是有理數域$\mathbb {Q}$的擴域，是實數域$\mathbb {C}$的子域。記作$\mathbb {Q} \subseteq \mathrm {L} \subseteq \mathbb {C}$。域是抽象代數中的概念，是能夠進行「加減乘除」運算的集合。從單位長度出發，很容易得到任何有理數長度的線段，所以直線OA（也就是實數軸）上所有的有理數坐標的點都是尺規可作點。如果平面上還有另一個尺規可作點（對應複數z），那麼也能做出任意pz+q的點，甚至於任何形如：

${\frac {P_{1}(z)}{P_{2}(z)}}$

的點（其中P₁和P₂是兩個多項式）。有理數域$\mathbb {Q}$和所有因為z而多出來的尺規可作點仍舊構成一個域，稱為$\mathbb {Q}$關於z的擴張，記作$\mathbb {Q} (z)$。然而，$\mathbb {Q} (z)$中的元素並沒有表面上那麼「多」。一般來說，如果有一個多項式P使得P(z)=0，那麼$\mathbb {Q} (z)$中的元素都可以寫成λ₁+λ₂z+...+λ_dz^d-1的形式，其中d是P的階數。這樣的情況稱為域$\mathbb {Q}$的有限擴張，因為$\mathbb {Q} (z)$可以看成關於$\mathbb {Q}$的有限維線性空間。為了確定這個線性空間的維數，需要為它找一個基底，也就是一個線性無關的最小生成集。為此，尋找使得m(z) $=$ 0的多項式中階數最小的，並稱m是z最小多項式。在最小多項式確定後，便可確定1, z, ... , z^d_m-1是$\mathbb {Q} (z)$的一個基底，$\mathbb {Q} (z)$是一個d_m維的$\mathbb {Q}$-線性空間（d_m是m的階數）。這時候也稱d_m是域擴張$\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} (z)$的階數，記作：

$[\mathbb {Q} (z):\mathbb {Q} ]=\mathrm {d} _{m}$

規矩擴張的階數

對任何一個尺規可作點，都可以考察它對應的域擴張的階數。由於每個尺規可作點都是通過五種作圖公法的有限次累加得到的，而其中生成新點（也就是新坐標）的只有後三種。所以只需考察這三種步驟得到的新點對應的域擴張的階數。假設某個時刻，已知的所有尺規可作點構成的域是L，那麼生成新點時的直線和圓的係數都在L裡面。

直線的方程是：$ax+by+c=0,\quad a,b,c\in \mathrm {L} ,\qquad \qquad \cdots \;\;(1)$

圓的方程是：$(x-c_{1})^{2}+(y-c_{2})^{2}=r^{2},\quad c_{1},c_{2},r\in \mathrm {L} .\qquad \qquad \cdots \;\;(2)$

無論是兩個(1)類方程，兩個(2)類方程，還是一個(1)類和一個(2)類方程聯立求解，得到的x和y值都會是形同

${\begin{cases}x=p_{1}+q_{1}{\sqrt {t}}&p_{1},\;q_{1},\;t\;\in \mathrm {L} \\y=p_{2}+q_{2}{\sqrt {t}}&p_{2},\;q_{2}\;\in \mathrm {L} \end{cases}}$

的數值。所以復規矩數z $=$ x+yi滿足一個二次方程：

$(z-(p_{1}+p_{2}i))^{2}=t(q_{1}+q_{2}i)^{2}$

其中的p₁+p₂i、q₁+q₂i以及t都是L中的元素。這意味著，域擴張L⊆L(z)的階數最多是2（最小多項式的階數至多是2）。這又說明，從L開始，經過一系列（n次）基本步驟得到的尺規可作點，代表了n次域擴張：

$\mathrm {L} \subseteq \mathrm {L} _{1}\subseteq \cdots \subseteq \mathrm {L} _{n}$。

而每次域擴張的階數：[L_k : L_k-1]都不超過2。因此，如果從基本的有理數域出發的話，就能得到如下的定理：

任何復規矩數z對應的域擴張$\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} (z)$的階數$[\mathbb {Q} (z):\mathbb {Q} ]$都是2的某個冪次： $[\mathbb {Q} (z):\mathbb {Q} ]=2^{s}$

其中的s是某個小於n的自然數（n是已知所有有理數坐標點時，作出z對應的點要經過的基本步驟數目）。

三等分角的反證

上文已經說明，任何可以用尺規作圖作出的點，其座標對應一個復規矩數，它的最小多項式次數為$2^{s}$。以下用反證法證明三等分任意角是不可能的。反設可以用尺規作圖將任意角三等分，代表對任意角度是$\theta$的角，均可以由尺規作圖得到 角度為${\frac {\theta }{3}}$的角。這等價於說在已知單位長度和$\cos {\theta }$的時候能做出$\cos {\frac {\theta }{3}}$的長度。設L是包含了$\cos {\theta }$和單位長度1的域。用尺規作圖可以得到$z=\cos {\frac {\theta }{3}}$，說明域擴張的階數是2的冪次：

$[\mathrm {L} (z):\mathrm {L} ]=2^{s}$

然而根據三倍角公式：

$\cos \theta =4\cos ^{3}{\frac {\theta }{3}}-3\cos {\frac {\theta }{3}}=4z^{3}-3z$。

運用多項式的知識可以證明，$z$在L中的最小多項式的階數必定不大於3，也就是說是1，2或者3。比如說當角度$\theta =60^{\circ }$時，L就是$\mathbb {Q}$（$\cos {\theta }={\frac {1}{2}}\in \mathbb {Q}$）三倍角公式變成：

$4z^{3}-3z=\cos {60^{\circ }}={\frac {1}{2}}$，即是：

$8z^{3}-6z-1=0$

這個多項式不可約，所以這個方程的解不屬於有理數集$\mathbb {Q}$，所以可以證明$[\mathbb {Q} (z):\mathbb {Q} ]=3$。然而3不是2的冪次，這和之前的結論矛盾。如此便說明，無法用尺規作圖將任意角三等分。$\Box$

能夠尺規三等分的角度

以上的證明通過一個反例：$\theta =60^{\circ }$說明了用尺規作圖將任意角三等分是不可能的。但用尺規作圖三等分某些特定的角（比如說直角）仍然是可行的。事實上，從證明中可以看出，尺規三等分某個角$\theta$等價於說$[\mathrm {L} (\cos {\frac {\theta }{3}}):\mathrm {L} ]=1$。要注意的是，這個條件與$\cos {\theta }$本身能否用尺規作圖作出並不相關。實際上，有的角度$\theta$即便本身無法用尺規作圖法作出，但如果已知角$\theta$作為條件，是能夠用尺規作圖將它三等分的。角度$3\pi /7$就是這樣一個例子。它本身無法用尺規作出，但如果給定一個$3\pi /7$的角，它的五倍角就是$15\pi /7$，等於將圓周繞過一圈後的$\pi /7$，這正是$3\pi /7$的三分之一。可以證明，角度$2\pi /N$可以用尺規三等分，若且唯若自然數N本身無法被三整除。

從證明中還可看出，只要自然數k只含有2以外的質因子，根據k倍角公式得到的k階多項式就說明$\cos {\frac {\theta }{k}}$的最小多項式階數整除k，所以不是2的冪次，從而無法用尺規作圖k等分任意角。例如用尺規作圖五等分任意角、七等分任意角等等都是不可能的（$2\pi /N$可以五等分，當且僅當N不是5的倍數；而不管N是多少，$2\pi /N$都不能七等分，因為正七邊形本身就不能尺規作圖了）。

三等分角的方法

用尺規作圖的方法三等分角被證明是不可行的。如果放寬尺規作圖的限制，或允許使用另外的工具，那麼三等分任意角仍舊是可能的。

無限次步驟

尺規作圖要求在有限次步驟內將任意角三等分。如果我們允許使用無限次的步驟來構造三等分角的話，可以利用

${\frac {1}{3}}={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\cdots$

這個無窮級數的和來實現。給定任意一的角度為$\theta$的角。已知尺規二等分角是可行的，所以重複兩次就能夠四等分一個角$\theta$，得到${\frac {\theta }{4}}$。同樣地，可以作出${\frac {\theta }{4^{2}}}$、${\frac {\theta }{4^{3}}}$等所有形同${\frac {\theta }{4^{n}}}$的角。將它們逐次相加，就能夠在無限次（可數次）操作後用尺規作圖得到

${\frac {\theta }{4}}+{\frac {\theta }{4^{2}}}+{\frac {\theta }{4^{3}}}+\cdots ={\frac {\theta }{3}}$。

二刻尺

把角a三等分

如果允許使用有刻度的直尺（二刻尺），則三等分任意角是可行的。右圖為把角a三等分的示意圖。這個想法最早由阿基米德提出。

首先，在直尺上有兩個刻度，相距AB。把角上的直線延長，並作一個半徑為AB的圓。

把直尺的一點固定在A，並將直尺繞著點A移動，直到其中一個刻度位於點C，另一個刻度位於點D，也就是說，CD $=$ AB。這時，角b就是角a的三分之一。

要證明$a=3b$，我們需要利用直線上的鄰角(adjacent angles on straight line)，三角形的內角和(angle sum of triangle)及等腰三角形底角(base angle, isosceles triangle)。

證明：

1. $e+c=180^{\circ }$。
2. $e+2b=180^{\circ }$。
3. 兩式相減，得$c=2b$。
4. $d+2c=180^{\circ }$，因此$d=180^{\circ }-2c$，把上式代入，得$d=180^{\circ }-4b$。
5. $a+d+b=180^{\circ }$，因此$a+(180^{\circ }-4b)+b=180^{\circ }$。

所以，$a-3b=0$，或$a=3b$。證畢。

或者，可以利用三角形的外角(Exterior Angle of a Triangle)作證明。

$b+b=c$

$b+c=a$

$\Rightarrow {b}+2b=a$

$\Rightarrow {a}=3b$

同樣也可證明。

藉助其他形狀或工具

尺規作圖的規定來自於古希臘的柏拉圖學派，他們認為僅有直線和圓是完美的形狀。事實上，如果允許在作圖中使用其他的曲線或形狀，那麼三等分任意角是可行的。例如：已知角AOB，做其角平分線OC。以直線OC為準線，點A為焦點，作一雙曲線；同時以O為圓心，OA為半徑做圓。設該圓與雙曲線在角AOB內側的交點為D，那麼角AOD等於角AOB的三分之一。此外，麥克勞林、利馬松等人也曾經設計過可以輔助三等分角的曲線。阿基米德螺線（等角螺線）也是能夠直觀幫助三等分角的曲線。在極坐標中，阿基米德螺線的方程是：

$\rho =c\theta$

其中的$\rho$是極徑（離原點的距離），$\theta$是幅角。由於極徑和幅角成正比，所以要尋找等於給定角度三分之一的角度，只需要確定原角度對應的極徑長度$\rho _{0}$，然後對比找出${\frac {\rho _{0}}{3}}$對應的角度即可。

相關條目

• 莫雷角三分線定理
• 規矩數
• 三等分角線

外部連結

• HPM 通訊第6卷第6期，3大作圖題（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 介紹在較寬鬆的條件下（允許使用有刻度的直尺或配合其他曲線）用尺規作圖，來求解三等分角問題。
• 三等分任意角可能嗎？（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）