狄拉克δ函数

狄拉克δ函数（Dirac Delta function），有时也说单位脉冲函数。通常用δ表示。在概念上，它是這麼一個「函數」：在除了零以外的點都等於零，而其在整個定義域上的積分等於1。嚴格來說狄拉克δ函数不能算是一個函數，因為滿足以上條件的函數是不存在的。但可以用分佈的概念來解釋，稱為狄拉克δ分布，或δ分布，但與費米-狄拉克分布是兩回事。在廣義函數論裡也可以找到δ函數的解釋，此時δ作為一個極簡單的廣義函數出現。

在實際應用中，δ函數或δ分布總是伴隨着積分一起出現。δ分布在偏微分方程、數學物理方法、傅立葉分析和概率論裡都和很多數學技巧有關。

定义

狄拉克δ函数可大概认为是实直线上的一个函数，它在原点以外的所有点函数值为0，只在原点为无穷：

$\delta (x)={\begin{cases}+\infty ,&x=0\\0,&x\neq 0\end{cases}}$

并且满足约束条件

$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,dx=1.$

另外，还有

$\delta (x-c)={\begin{cases}+\infty ,&x=c\\0,&x\neq c\end{cases}}$

$\int _{a}^{b}\delta (x-c)dx=1,\quad a<c<b$

性质

缩放和对称

对于非零标量α，δ函数满足下面的缩放性：

$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (\alpha x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (u)\,{\frac {du}{|\alpha |}}={\frac {1}{|\alpha |}}$

所以

$\delta (\alpha x)={\frac {\delta (x)}{|\alpha |}}.$

特别地，δ函数是一个偶分布，这就是说

$\delta (-x)=\delta (x)$

它是-1次齐次函数。

其他性质

• $\delta ^{\prime }(-x)=-\delta ^{\prime }(x)$
• $x\delta (x)=0,x\delta (x-a)=a\delta (x-a)$
• $\delta (x^{2}-a^{2})={\frac {1}{2|a|}}[\delta (x+a)+\delta (x-a)]$
• $\int _{a}^{b}f(x)\delta (x-c)dx=f(c),\quad a<c<b$
• $\int _{a}^{b}f(x){\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\delta (x-c)dx=(-1)^{n}[{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)]_{x=c},\quad a<c<b$

表达式

以下表达式均可代表狄拉克δ函数：

• $\delta (x)=\lim _{\alpha \to 0^{+}}{\frac {1}{\pi }}{\frac {\alpha }{\alpha ^{2}+x^{2}}}$
• $\delta (x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{ikx}dk$
• $\delta (x)=\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{\pi }}{\frac {\sin {kx}}{x}}$

参阅

• Γ函数
• 黎曼ζ函数

参考文献

• Aratyn, Henrik; Rasinariu, Constantin, A short course in mathematical methods with Maple, World Scientific, 2006, ISBN 981-256-461-6  。
• Arfken, G. B.; Weber, H. J., Mathematical Methods for Physicists 5th, Boston, Massachusetts: Academic Press, 2000, ISBN 978-0-12-059825-0  。
• Bracewell, R., The Fourier Transform and Its Applications 2nd, McGraw-Hill, 1986  。
• Córdoba, A., La formule sommatoire de Poisson, C.R. Acad. Sci. Paris, Series I: 373–376  。
• Courant, Richard; Hilbert, David, Methods of Mathematical Physics, Volume II, Wiley-Interscience, 1962  。
• Davis, Howard Ted; Thomson, Kendall T, Linear algebra and linear operators in engineering with applications in Mathematica, Academic Press, 2000, ISBN 0-12-206349-X 
• Dieudonné, Jean, Treatise on analysis. Vol. II, New York: Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], 1976, ISBN 978-0-12-215502-4, MR 0530406  。
• Dieudonné, Jean, Treatise on analysis. Vol. III, Boston, Massachusetts: Academic Press, 1972, MR 0350769 
• Dirac, Paul, Principles of quantum mechanics 4th, Oxford at the Clarendon Press, 1958, ISBN 978-0-19-852011-5  。
• Driggers, Ronald G., Encyclopedia of Optical Engineering, CRC Press, 2003, ISBN 978-0-8247-0940-2  。
• Federer, Herbert, Geometric measure theory, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 153, New York: Springer-Verlag: xiv+676, 1969, ISBN 978-3-540-60656-7, MR 0257325  。
• Gel'fand, I. M.; Shilov, G. E., Generalized functions 1–5, Academic Press, 1966–1968  。
• Hartman, William M., Signals, sound, and sensation, Springer, 1997, ISBN 978-1-56396-283-7  。
• Hewitt, E; Stromberg, K, Real and abstract analysis, Springer-Verlag, 1963  。
• Hörmander, L., The analysis of linear partial differential operators I, Grundl. Math. Wissenschaft. 256, Springer, 1983, ISBN 3-540-12104-8, MR 0717035  。
• Isham, C. J., Lectures on quantum theory: mathematical and structural foundations, Imperial College Press, 1995, ISBN 978-81-7764-190-5  。
• John, Fritz, Plane waves and spherical means applied to partial differential equations, Interscience Publishers, New York-London, 1955, MR 0075429  。
• Lang, Serge, Undergraduate analysis, Undergraduate Texts in Mathematics 2nd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1997, ISBN 978-0-387-94841-6, MR 1476913  。
• Lange, Rutger-Jan, Potential theory, path integrals and the Laplacian of the indicator, Journal of High Energy Physics (Springer), 2012, 2012 (11): 29–30, Bibcode:2012JHEP...11..032L, arXiv:1302.0864 , doi:10.1007/JHEP11(2012)032  。
• Laugwitz, D., Definite values of infinite sums: aspects of the foundations of infinitesimal analysis around 1820, Arch. Hist. Exact Sci., 1989, 39 (3): 195–245, doi:10.1007/BF00329867  。
• Levin, Frank S., Coordinate-space wave functions and completeness, An introduction to quantum theory, Cambridge University Press: 109ff, 2002, ISBN 0-521-59841-9 
• Li, Y. T.; Wong, R., Integral and series representations of the Dirac delta function, Commun. Pure Appl. Anal., 2008, 7 (2): 229–247, MR 2373214, doi:10.3934/cpaa.2008.7.229  。
• de la Madrid, R.; Bohm, A.; Gadella, M., Rigged Hilbert Space Treatment of Continuous Spectrum, Fortschr. Phys., 2002, 50 (2): 185–216, Bibcode:2002ForPh..50..185D, arXiv:quant-ph/0109154 , doi:10.1002/1521-3978(200203)50:2<185::AID-PROP185>3.0.CO;2-S  。
• McMahon, D., An Introduction to State Space, Quantum Mechanics Demystified, A Self-Teaching Guide, Demystified Series, New York: McGraw-Hill: 108, 2005-11-22 [2008-03-17], ISBN 0-07-145546-9, doi:10.1036/0071455469  。
• van der Pol, Balth.; Bremmer, H., Operational calculus 3rd, New York: Chelsea Publishing Co., 1987, ISBN 978-0-8284-0327-6, MR 0904873  。
• Rudin, W., Functional Analysis 2nd, McGraw-Hill, 1991, ISBN 0-07-054236-8  。
• Soares, Manuel; Vallée, Olivier, Airy functions and applications to physics, London: Imperial College Press, 2004  。
• Saichev, A I; Woyczyński, Wojbor Andrzej, Chapter1: Basic definitions and operations, Distributions in the Physical and Engineering Sciences: Distributional and fractal calculus, integral transforms, and wavelets, Birkhäuser, 1997, ISBN 0-8176-3924-1 
• Schwartz, L., Théorie des distributions 1, Hermann, 1950  。
• Schwartz, L., Théorie des distributions 2, Hermann, 1951  。
• Stein, Elias; Weiss, Guido, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, 1971, ISBN 0-691-08078-X  。
• Strichartz, R., A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms, CRC Press, 1994, ISBN 0-8493-8273-4  ​​。
• Vladimirov, V. S., Equations of mathematical physics, Marcel Dekker, 1971, ISBN 0-8247-1713-9  。
• 埃里克·韦斯坦因. Delta Function. MathWorld. 
• Yamashita, H., Pointwise analysis of scalar fields: A nonstandard approach, Journal of Mathematical Physics, 2006, 47 (9): 092301, Bibcode:2006JMP....47i2301Y, doi:10.1063/1.2339017 
• Yamashita, H., Comment on "Pointwise analysis of scalar fields: A nonstandard approach" [J. Math. Phys. 47, 092301 (2006)], Journal of Mathematical Physics, 2007, 48 (8): 084101, Bibcode:2007JMP....48h4101Y, doi:10.1063/1.2771422 

外部链接

• Hazewinkel, Michiel (编), Delta-function, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4  （英文）
• KhanAcademy.org录像课 （英文）
• 关于狄拉克δ函数 （英文），对狄拉克δ函数的教程。
• 视频讲座-讲座23 （英文），讲座者Arthur Mattuck。
• 狄拉克δ函数 （英文），在PlanetMath上
• 狄拉克δ测度是一个超函数 （英文）
• We show the existence of a unique solution and analyze a finite element approximation when the source term is a Dirac delta measure （英文）
• Non-Lebesgue measures on R. Lebesgue-Stieltjes measure, Dirac delta measure. （英文）