ROC曲线

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3条ROC曲线

信号检测理论中,接收者操作特征曲線receiver operating characteristic curve,或者叫ROC曲线)是一种座標圖式的分析工具,用於 (1) 选择最佳的信號偵測模型、捨棄次佳的模型。 (2) 在同一模型中設定最佳閾值。

在做決策時,ROC分析能不受成本/效益的影響,給出客觀中立的建議。

ROC曲线首先是由二战中的电子工程师和雷达工程师发明的,用来偵测战场上的敌军載具(飛機、船艦),也就是信号检测理论。之后很快就被引入了心理学来进行信号的知觉检测。數十年來,ROC分析被用於医学无线电生物學犯罪心理學领域中,而且最近在机器学习(machine learning)和数据挖掘(data mining)领域也得到了很好的发展。

基本概念[编辑]

术语
陽性 (P, positive)
陰性 (N, Negative)
真阳性 (TP, true positive)
正确的肯定。又稱:命中 (hit)
真阴性 (TN, true negative)
正确的否定。又稱:正確拒絕 (correct rejection)
偽阳性 (FP, false positive)
错误的肯定,又稱:假警報 (false alarm),第一型错误
偽阴性 (FN, false negative)
错误的否定,又稱:未命中 (miss),第二型错误
真阳性率 (TPR, true positive rate)
又稱:命中率 (hit rate)
TPR = TP / P = TP / (TP+FN)
偽阳性率(FPR, false positive rate)
又稱:错误命中率,假警報率 (false alarm rate)
FPR = FP / N = FP / (FP + TN)
準确度 (ACC, accuracy)
ACC = (TP + TN) / (P + N)
即:(真陽性+真陰性) / 總樣本數
真阴性率 (TNR)
又稱:特異度 (SPC, specificity)
SPC = TN / N = TN / (FP + TN) = 1 - FPR
阳性预测值 (PPV)
PPV = TP / (TP + FP)
阴性预测值 (NPV)
NPV = TN / (TN + FN)
假發现率 (FDR)
FDR = FP / (FP + TP)
Matthews相关系数 (MCC),即 Phi相關係數
MCC = (TP*TN - FP*FN) / \sqrt{P N P' N'}
F1评分
F1 = 2TP/(P+P')
Source: Fawcett (2006).

分类模型(又稱分类器,或診斷)是将一个实例映射到一个特定类的过程。ROC分析的是二元分類模型,也就是輸出結果只有兩種類別的模型,例如:(陽性/陰性)(有病/沒病)(垃圾郵件/非垃圾郵件)(敵軍/非敵軍)。

訊號偵測(或變數測量)的结果是一個連續值時,類與類的邊界必须用一个阈值英语threshold)來界定。举例来说,用血压值来检测一个人是否有高血压,測出的血壓值是連續的實數(從0~200都有可能),以收縮壓140/舒張壓90為閾值,閾值以上便診斷為有高血壓,閾值未滿者診斷為無高血壓。二元分類模型的個案預測有四種結局:

  1. 真陽性(TP):診斷為有實際上也有高血壓。
  2. 偽阳性(FP):診斷為有实际卻没有高血壓。
  3. 真陰性(TN):診斷為沒有實際上也沒有高血壓。
  4. 偽阴性(FN):診斷為沒有实际却有高血壓。

這四種結局可以畫成2 × 2的Confusion matrix

  真实值
p n



p' 真阳性
(TP)
偽阳性
(FP)
P'
n' 偽阴性
(FN)
真阴性
(TN)
N'
總數 P N

ROC空間[编辑]

ROC空间将偽陽性率(FPR)定義為 X 軸,真陽性率(TPR)定义为 Y 轴。

  • TPR:在所有實際為陽性的樣本中,被正確地判斷為陽性之比率。
TPR=TP/(TP+FN)
  • FPR:在所有實際為阴性的样本中,被錯誤地判斷為陽性之比率。
FPR=FP/(FP+TN)

給定一個二元分類模型和它的閾值,就能從所有樣本的(陽性/陰性)真實值和預測值計算出一個 (X=FPR, Y=TPR) 座標點。

從 (0, 0) 到 (1,1) 的對角線将ROC空间划分为左上/右下两个区域,在这条线的以上的点代表了一个好的分类结果(勝過隨機分類),而在这条线以下的点代表了差的分类结果(劣於隨機分類)。

完美的預測是一个在左上角的点,在ROC空间座标 (0,1)点,X=0 代表着没有偽阳性,Y=1 代表著沒有偽阴性(所有的陽性都是真陽性);也就是說,不管分類器輸出結果是陽性或陰性,都是100%正確。一个随机的预测会得到位於从 (0, 0) 到 (1, 1) 对角线(也叫无识别率线)上的一个点;最直观的随机预测的例子就是抛硬币。

让我们来看在實際有100个阳性和100个阴性的案例時,四種預測方法(可能是四種分類器,或是同一分類器的四種閾值設定)的結果差異:

A B C C'
TP=63 FP=28 91
FN=37 TN=72 109
100 100 200
TP=77 FP=77 154
FN=23 TN=23 46
100 100 200
TP=24 FP=88 112
FN=76 TN=12 88
100 100 200
TP=76 FP=12 88
FN=24 TN=88 112
100 100 200
TPR = 0.63 TPR = 0.77 TPR = 0.24 TPR = 0.76
FPR = 0.28 FPR = 0.77 FPR = 0.88 FPR = 0.12
ACC = 0.68 ACC = 0.50 ACC = 0.18 ACC = 0.82
ROC空间的4个例子

將這4種结果畫在ROC空间裡:

  • 點與随机猜测线的距離,是預測力的指標:离左上角越近的點預測(診斷)準確率越高。離右下角越近的點,预测越不準。
  • ABC三者當中,最好的結果是A方法。
  • B方法的结果位於随机猜测线(對角線)上,在例子中我们可以看到B的準確度(ACC,定義見前面表格)是50%。
  • C雖然預測準確度最差,甚至劣於隨機分類,也就是低於0.5(低於對角線)。然而,当将C以 (0.5, 0.5) 為中點作一个镜像后,C'的结果甚至要比A还要好。这个作镜像的方法,简单說,不管C(或任何ROC點低於對角線的情況)预测了什么,就做相反的結論。

ROC曲線[编辑]

隨著閾值調整,ROC座標系裡的點如何移動

上述ROC空間裡的單點,是給定分類模型且給定閾值後得出的。但同一個二元分類模型閾值可能設定為高或低,每種閾值的設定會得出不同的FPR和TPR。

  • 同一模型每個閾值 的 (FPR, TPR) 座標都畫在ROC空間裡,就成為特定模型的ROC曲線

例如右圖,人體的血液蛋白濃度是呈正态分布的連續變數,病人的分布是紅色,平均值為A g/dL,健康人的分布是藍色,平均值是C g/dL。健康檢查會測量血液樣本中的某種蛋白質濃度,達到某個值(閾值,threshold)以上診斷為有疾病徵兆。研究者可以調整閾值的高低(將左上圖的垂直線往左或右移動),便會得出不同的偽陽性率與真陽性率,總之即得出不同的預測準確率。

1. 由於每個不同的分類器(診斷工具、偵測工具)有各自的測量標準和測量值的單位(標示為:「健康人-病人分佈圖」的橫軸),所以不同分類器的「健康人-病人分佈圖」都長得不一樣。

2. 比較不同分類器時,ROC曲線的實際形狀,便視兩個實際分佈的重疊範圍而定,沒有規律可循。

3. 但在同一個分類器之內,閾值的不同設定對ROC曲線的影響,仍有一些規律可循:

  • 當閾值設定為最高時,亦即所有樣本都被預測為陰性,沒有樣本被預測為陽性,此時在偽陽性率 FPR = FP / ( FP + TN ) 算式中的 FP = 0,所以 FPR = 0%。同時在真陽性率(TPR)算式中, TPR = TP / ( TP + FN ) 算式中的 TP = 0,所以 TPR = 0%
當閾值設定為最高時,必得出ROC座標系左下角的點 (0, 0)。
  • 當閾值設定為最低時,亦即所有樣本都被預測為陽性,沒有樣本被預測為陰性,此時在偽陽性率FPR = FP / ( FP + TN ) 算式中的 TN = 0,所以 FPR = 100%。同時在真陽性率 TPR = TP / ( TP + FN ) 算式中的 FN = 0,所以 TPR=100%
當閾值設定為最低時,必得出ROC座標系右上角的點 (1, 1)。
  • 因為TP、FP、TN、FN都是累積次數,TN和FN隨著閾值調低而減少(或持平),TP和FP隨著閾值調低而增加(或持平),所以FPR和TPR皆必隨著閾值調低而增加(或持平)。
隨著閾值調低,ROC點 往右上(或右/或上)移動,或不動;但絕不會往左/下/左下移動

曲線下面積(AUC)[编辑]

例示三種AUC值(曲線下面積)

在比較不同的分類模型時,可以將每個模型的ROC曲線都畫出來,比較曲線下面積做為模型優劣的指標。

意義[编辑]

ROC曲線下方的面積(英语Area under the Curve of ROC (AUC ROC)),其意義是:

  • 因為是在1x1的方格裡求面積,AUC必在0~1之間。
  • 假設閾值以上是陽性,以下是陰性;
  • 若隨機抽取一個陽性樣本和一個陰性樣本,分類器正確判斷陽性樣本的值高於陰性樣本之機率 =AUC[1]
  • 簡單說:AUC值越大的分類器,正確率越高。

從AUC判斷分類器(預測模型)優劣的標準:

  • AUC = 1,是完美分類器,採用這個預測模型時,存在至少一個閾值能得出完美預測。絕大多數預測的場合,不存在完美分類器。
  • 0.5 < AUC < 1,優於隨機猜測。這個分類器(模型)妥善設定閾值的話,能有預測價值。
  • AUC = 0.5,跟隨機猜測一樣(例:丟銅板),模型沒有預測價值。
  • AUC < 0.5,比隨機猜測還差;但只要總是反預測而行,就優於隨機猜測。

計算[编辑]

AUC的計算有兩種方式,都是以逼近法求近似值。

梯形法[编辑]

梯形法英语trapezoid method):簡單地將每個相鄰的點以直線連接,計算連線下方的總面積。因為每一線段下方都是一個梯形,所以叫梯形法

  • 優點:簡單,所以常用。
  • 缺點:傾向於低估AUC。

ROC AUCH法[编辑]

潛在問題[编辑]

AUC of ROC是機器學習的社群最常使用來比較不同模型優劣的方法[2] 。然而近來這個做法開始受到質疑,因為有些機器學習的研究指出,AUC的雜訊太多,並且很常求不出可信又有效的AUC值(此時便不能保證AUC傳達本節開頭所述之意義),使得AUC在模型比較時產生的問題比解釋的問題更多[3][4][5]

分析軟體[编辑]

所有常用於統計分析的軟體(例:SPSS、SAS、SYSTAT、S-Plus、ROCKIT、RscorePlus)都有依據不同閾值自動計算真陽性和偽陽性比率、並依此繪製ROC曲線的功能。

离散分类器英语discrete,或稱「間斷分類器」),如决策树,产生的是离散的数值或者一个二元标签。应用到实例中,这样的分类器最后只会在ROC空间产生单一的点。而一些其他的分类器,如朴素贝叶斯分类器,逻辑回归或者人工神经网络,产生的是实例属于某一类的可能性,对于这些方法,一个阈值就决定了ROC空间中点的位置。举例来说,如果可能值低于或者等于0.8这个阈值就将其认为是阳性的类,而其他的值被认为是阴性类。这样就可以通过画每一个阈值的ROC点来生成一个生成一条曲线。MedCalc是较好的ROC曲线分析软件。

註腳[编辑]

  1. ^ Fawcett, Tom (2006); An introduction to ROC analysis, Pattern Recognition Letters, 27, 861–874.
  2. ^ Hanley, James A.; McNeil, Barbara J. A method of comparing the areas under receiver operating characteristic curves derived from the same cases. Radiology. 1983-09-01, 148 (3): 839–43 [2008-12-03]. PMID 6878708. 
  3. ^ Hanczar, Blaise; Hua, Jianping; Sima, Chao; Weinstein, John; Bittner, Michael; and Dougherty, Edward R. (2010); Small-sample precision of ROC-related estimates, Bioinformatics 26 (6): 822–830
  4. ^ Lobo, Jorge M.; Jiménez-Valverde, Alberto; and Real, Raimundo (2008), AUC: a misleading measure of the performance of predictive distribution models, Global Ecology and Biogeography, 17: 145–151
  5. ^ Hand, David J. (2009); Measuring classifier performance: A coherent alternative to the area under the ROC curve, Machine Learning, 77: 103–123

參考文獻[编辑]

  • Zou, K.H., O'Malley, A.J., Mauri, L. (2007). Receiver-operating characteristic analysis for evaluating diagnostic tests and predictive models. Circulation, 6;115(5):654–7.
  • X. H., Zhou. Statistical Methods in Diagnostic Medicine. Wiley & Sons. 2002. ISBN 9780471347729. 
  • Lasko, T.A., J.G. Bhagwat, K.H. Zou and Ohno-Machado, L. (2005). The use of receiver operating characteristic curves in biomedical informatics. Journal of Biomedical Informatics, 38(5):404–415.
  • Balakrishnan, N., (1991) Handbook of the Logistic Distribution, Marcel Dekker, Inc., ISBN 978-0824785871.
  • Gonen M., (2007) Analyzing Receiver Operating Characteristic Curves Using SAS, SAS Press, ISBN 978-1-59994-298-1.
  • Green, W.H., (2003) Econometric Analysis, fifth edition, Prentice Hall, ISBN 0-13-066189-9.
  • Heagerty, P.J., Lumley, T., Pepe, M. S. (2000) Time-dependent ROC Curves for Censored Survival Data and a Diagnostic Marker Biometrics, 56:337 – 344
  • Hosmer, D.W. and Lemeshow, S., (2000) Applied Logistic Regression, 2nd ed., New York; Chichester, Wiley, ISBN 0-471-35632-8.
  • Brown, C.D., and Davis, H.T. (2006) Receiver operating characteristic curves and related decision measures: a tutorial, Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems, 80:24–38
  • Mason, S.J. and Graham, N.E. (2002) Areas beneath the relative operating characteristics (ROC) and relative operating levels (ROL) curves: Statistical significance and interpretation. Q.J.R. Meteorol. Soc., 128:2145–2166.
  • Pepe, M.S. (2003). The statistical evaluation of medical tests for classification and prediction. Oxford. ISBN 0198565828.
  • Carsten, S. Wesseling, S., Schink, T., and Jung, K. (2003) Comparison of Eight Computer Programs for Receiver-Operating Characteristic Analysis. Clinical Chemistry, 49:433–439
  • Swets, J.A. (1995). Signal detection theory and ROC analysis in psychology and diagnostics: Collected papers. Lawrence Erlbaum Associates.
  • Swets, J.A., Dawes, R., and Monahan, J. (2000) Better Decisions through Science. Scientific American, October, pages 82–87.

外部链接[编辑]