三面體

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部分的三面體
Trigonal hosohedron.png
三面形
Hemicube2.PNG
半立方體

幾何學中,三面體英文Trihedron)是指由3個面組成的多面體。面為平面三面體三維空間不能存在,因為要至少四個頂點才能在三維空間形成有體積的多面體,除非它的面是曲面,或是存在四維超球面。此外,有一種抽象英语Abstract_polytope射影多面體英语Projective polyhedron是三面體,即半立方體[1]

常見的三面體[编辑]

由於三維空間中的單純形是四面體,面數少於4的多面體都只能成為退化多面體[2],因此三面體都不能真正具有體積。在球面鑲嵌中,常見的三面體是三面形。亦有一種正抽象多面體是三面體,其為半立方體

名稱 種類 圖像 符號 頂點 χ 面的種類 對稱性
三面形 多面形
退化多面體
Trigonal hosohedron.png {2,3}
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
2 3 3 2 3個二角形Regular digon in spherical geometry-2.svg D3h, [2,3], (*223), order
立方體半形 射影多面體英语Projective polyhedron
抽象多胞形英语Abstract_polytope
Hemicube2.PNG {4,3}/2
{4,3}3[3]
4 6 3 1 3個正方形Red square.gif S4, order 24
圓柱體 非嚴格多面體
曲面
柱體
Blender-mesh-cylinder.png 0 2 3 1 1個曲面
2個圓形

三面形[编辑]

三面形
三面體
(點選觀看旋轉模型)
類別 多面形均勻多面體、球面鑲嵌
3
3
頂點 2
歐拉特徵數 F=3, E=3, V=2 (χ=2)
面的種類 二角形
考克斯特符號英语Coxeter-Dynkin diagram CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
施萊夫利符號 {2,3}
威佐夫符號英语Wythoff symbol 2 2
對稱群 D3h, [2,3], (*223), order 12
對偶 三角形二面體
旋轉對稱群英语Point_groups_in_three_dimensions#Rotation_groups D3, [2,3]+, (223), order 12

儘管面為平面的三面體三維空間不能存在,但在球面幾何學中,三面體可以以球面鑲嵌的方式存在,最簡單的例子是三面形。一個正三面形,表示三個鑲嵌在球體上的球弓形,施萊夫利符號中利用{2,3}來表示,其對偶多面體是三角形二面體。

性質[编辑]

三面形是一個退化的多面體,其無法擁有體積。三面形由3個二角形組成,每個頂點都是3個二角形的公共頂點。正三面形的每個面都是正二角形,且每個頂點都是3個正二角形的公共頂點,因此正三面形也可以視為一種正多面體,但是因為其已退化,因此不會與柏拉圖立體一同討論。

三面形具有 D3h, [2,3], (*223) 的對稱性和 D3, [2,3]+ 的旋轉對稱性,且階數為12,在考克斯特符號中用CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png表示。

圓柱[编辑]

圓柱也能算是一種非嚴格的三面體,因為它可以看做是只有三個面的幾何體,由一曲面(側面)和兩個圓形平面(底面)所組成。

相關形狀[编辑]

三胞體[编辑]

三胞體是指有三個胞或維面的多胞體。其為三面體在四維或更高維度的類比,但由於四維空間的單純形是五胞體,任何面數邊樹或頂點數小於單純形的圖形都只能退化或成為球面鑲嵌,即無法具有非零的體積。

參見[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ McMullen, Peter; Schulte, Egon, 6C. Projective Regular Polytopes, Abstract Regular Polytopes 1st, Cambridge University Press: 162–165, December 2002, ISBN 0-521-81496-0 
  2. ^ 斯洛恩(Sloane's) A135278 : Pascal's triangle with its left-hand edge removed整數數列線上大全。OEIS Foundation.
  3. ^ N. Wedd. The hemicube. weddslist.com. 2010 [2016-08-14].